CF1187F Expected Square Beauty 解题报告

CF1187F Expected Square Beauty解题报告：

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题意

定义一个序列 \(x\) 的美丽值 \(B(x)\) 为将 \(x\) 划分成所有元素都相等的子段的最小子段数，对于位置 \(i\)，它的值在 \([l_i,r_i]\) 中随机，且是一个整数，求 \(E(B(x)^2)\)。

\(1\leqslant n\leqslant 2\times 10^5,1\leqslant l_i\leqslant r_i\leqslant 10^9\)。

分析

套路题，来水一个题解。

首先考虑 \(E(B(x))\) 怎么求，实际上它就是 \(E(\sum_{i=1}^{n-1}[x_i\ne x_{i+1}])\)，根据期望的线性性将它拆开求就好了。

同样地，\(E(B(x)^2)\) 可以套路地转化成 \(E(\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}[x_i\ne x_{i+1}][x_j\ne x_{j+1}])\)，拆开后我们就只要求一对位置对同时满足条件的概率。

分类讨论：（下面为了方便，设 \(R(i)=E([x_i\ne x_{i+1}])\)。）

• \(i=j\)，仍然等于 \(R(i)\)。
• \(|i-j|>1\)，不难发现两个位置互不影响，直接 \(R(i)R(j)\)。
• \(|i-j|=1\)（设 \(i=j+1\)），考虑容斥一下，那么概率为 \(1-E([x_{i-1}=x_i])-E([x_i=x_{i+1}])+E([x_{i-1}=x_i=x_{i+1}])\)，后面这个东西可以类似 \(R(i)\) 一样计算。

计算上述值非常简单，时间复杂度 \(O(n\log mod)\)。

这里简单提一下 \(R(i)\) 的计算方式吧，我们可以求相等的概率，然后发现每个取值会取遍区间 \(i\) 和区间 \(i+1\) 的交，我们就直接将交的长度除以两个区间的长度之积就好了。

代码

为了方便，可以加入一个位置 \(0\)，其值在 \([0,0]\) 内随机。

#include<stdio.h>
const int maxn=200005,mod=1000000007;
int n,ans,sum;
int l[maxn],r[maxn],R[maxn],len[maxn],invlen[maxn];
inline int min(int a,int b){
	return a<b? a:b;
}
inline int max(int a,int b){
	return a>b? a:b;
}
int ksm(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1)
			res=1ll*res*a%mod;
		a=1ll*a*a%mod,b>>=1;
	}
	return res;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&l[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&r[i]);
	l[0]=r[0]=0,invlen[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		len[i]=r[i]-l[i]+1,invlen[i]=ksm(len[i],mod-2);
		R[i]=(1-1ll*max(0ll,min(r[i],r[i-1])-max(l[i],l[i-1])+1)*invlen[i]%mod*invlen[i-1]%mod+mod)%mod;
		if(i>2)
			sum=(sum+R[i-2])%mod;
		ans=((ans+R[i])%mod+2ll*sum*R[i]%mod)%mod;
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		int P=(1ll*(1-(1-R[i])-(1-R[i+1]))%mod+mod)%mod,ext=1ll*max(0ll,min(min(r[i-1],r[i+1]),r[i])-max(max(l[i-1],l[i+1]),l[i])+1)*invlen[i-1]%mod*invlen[i+1]%mod*invlen[i]%mod;
		ans=(ans+2ll*(P+ext)%mod)%mod;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}