【MX-X19-T3】「LAOI-14」Another Round 解题报告

简要题意

给定 \(n\) 个二元组 \((a_i,b_i)\)，有 \(n\) 个询问，第 \(i\) 次询问要求选出 \(i\) 个二元组，使得所有选出的二元组的 \(a\) 的最大值减去 \(b\) 的 \(\operatorname{mex}\)

的值最大。

数据范围：$ n \le 10^6$。

分析

\(a\) 的最大值是可以直接贪心的，关键是怎么处理 \(b\) 的 \(\operatorname{mex}\) 最小。

我们可以枚举 \(b\) 的 \(\operatorname{mex}\)。

我们令 \(cnt_j\) 表示 \(b_i\) 为 \(j\) 的下标 \(i\) 的个数，\(pre_i\) 为 \(\max \limits_{1\le i \le n,b_i \le j}a_i\)。类似地，我们还有 \(suf_i\) 为 \(\max \limits_{1\le i \le n,b_i \ge j}a_i\)。

假设我们枚举 \(\operatorname{mex}\) 为 \(i\)。我们要考虑 \(b\) 小于 \(i\) 的二元组必须选至少一个，\(b\) 等于 \(i\) 的二元组必须不选，其他的选择情况任意。这还是太麻烦了。

于是我们枚举 \(\operatorname{mex}\) 大于等于 \(i\)。这样限制就只有 \(b\) 为 \(i\) 的二元组不能选了。那么在这种情况下我们至多选出 \(n-cnt_i\) 个二元组，答案为 \(mx - i\)，其中 \(mx\) 是 \(b\) 不为 \(i\) 的二元组中 \(a\) 最大值。（显然你可以用 \(pre\) 和 \(suf\) 快速求出）由于最大值和 \(\operatorname{mex}\) 已经确定，只要不超过上线选出多少个都可以，所以维护后缀最大值即可。

为什么这么做可以呢？因为这样做求出的 \(\operatorname{mex}\) 是大于等于真实值的，对于一种选择情况，它在枚举到大于等于真实 \(\operatorname{mex}\) 的时候都会被统计，但是被大于真实值的时候被统计得的差值是更小的，而我们又在求差值最大值，所以我们最后得到的 \(\operatorname{mex}\) 一定是最小的。

代码

const int N=1e6+100;
int T,n,ans[N],mx[N],t[N],pre[N],suf[N];
struct Node{int a,b;}a[N];
bool cmp(Node x,Node y){return x.a>y.a || (x.a==y.a && x.b>y.b);}
bool cmp1(Node x,Node y){return x.b>y.b || (x.a==y.a && x.b>y.b);}
bool cmp2(Node x,Node y){return x.b<y.b;}
int vis[N];
void solve(){
    n=read();
    For(i,1,n) a[i].a=read();
    For(i,1,n) a[i].b=read(),ckmn(a[i].b,n+2);
    For(i,1,n) ans[i]=-inf;
    For(i,0,n+3) t[i]=0,mx[i]=pre[i]=suf[i]=-inf;
    For(i,1,n) t[a[i].b]++,ckmx(mx[a[i].b],a[i].a);
    pre[0]=mx[0],suf[n+2]=mx[n+2];
    For(i,1,n+2) pre[i]=max(pre[i-1],mx[i]);
    Down(i,n+1,0) suf[i]=max(suf[i+1],mx[i]);
    ckmx(ans[n-t[0]],suf[1]);
    int cnt=(t[0] ? 1 : 0);
    For(i,1,n+2){
        ckmx(ans[n-t[i]],max(pre[i-1],suf[i+1])-cnt);
        if(t[i] && cnt==i) ++cnt;
        else break;
    }
    Down(i,n-1,1) ckmx(ans[i],ans[i+1]);
    For(i,1,n) printf("%d\n",ans[i]);
}
int main()
{
#if !ONLINE_JUDGE
    freopen("test.in","r",stdin);
    freopen("test.out","w",stdout);
#endif 
    T=read();
    while(T--) solve();
    return 0;
}