CF 1019 Div.2 解题报告

CF 1019 Div.2 解题报告

A

首先，对于任意若干个数 \(\{a_n\}\)，一定可以构造出 \(\{b_n\}\)，使得 \(\forall_{i \in [1,n]} a_i*b_i=a_1*b_1\)。

那么题意转化为 \(a\) 中本质不同元素个数。

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B

题意：给定一个只由 \(01\) 构成的且长为 \(n\) 的字符串 \(t\)，\(s='0'+t\)。

现在你可以翻转（指左右翻转）\(s\) 的一个子串，请最小化 \(s\) 中满足 \(s_i \neq s_{i+1}(i \in [2,n+1])\) 的下标 \(i\) 的个数。

简单思考后分类讨论：

• 若这样的下标个数为 \(2\)，那么我们肯定可以通过翻转使下标个数减一；

• 若这样的小标个数大于等于 \(3\)，那么我们肯定可以通过翻转使下标数减二；

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C

题意：给定一个数组 \(a\)，定义 \(med(l,r)\) 表示 \(a_l,a_{l+1},\cdots,a_r\) 的中位数（定义为第 \(\lceil \frac{r-l+1}{2} \rceil\) 小的数）。

问是否存在 \(l,r(1 \le l < r <n)\) 满足 \(med(med(1,l),med(l+1,r),med(r+1,n)) \le k\)。

一个经典 Trick：判断中位数是否为一个数，那么就将大于它的数设为 \(1\),小于等于它的数为 \(-1\)，求和后若和为正，那么中位数小于等于这个数。

转化后题意为：能否将 \(a\) 划分为三个非空子串，使得至少两个子串内的元素和小于等于 \(0\)。

分别暴力从前往后、从后往前枚举维护当前子串和，如果当前子串和小于等于 \(0\)，那么就新开一段。

有解的情况可以是：

• 从前往后可以划分出至少两段；

• 从后往前可以划分出至少两段；

• 两端可以划分出两段，且两段的并不为全集。

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D

题意：给定一个长 \(n\) 的排列 \(a\)。对这个排列进行操作，直到排列中只剩一个数：

• 若这是第奇数次操作，那么删去所有不满足小于左右两边的数的元素；

• 若这是第偶数次操作，那么删去所有不满足大于左右两边的数的元素。

现在给出每一个元素被删去的时间，请还原这个排列。

首先，我们凭直觉想到分析被删去的数是什么。（这是有一定道理的，因为显然没被删去的数限制更强，这是不利于我们构造的）

然后，我们先考虑偶数次操作：

删除的数满足其大于左右两边中至少一个数，这可以是 'V' 字型，也可以是楼梯型。但是出于懒惰，我们选择楼梯型。

那怎么保证楼梯型一定可以呢？

考虑一个最无脑的办法：让删去的数大于所有留下的数，这样就一定保证删去的数不是局部最大值/最小值。

从实现上，我们选择用剩余的数的一段前缀或后缀来填充被删去的数。

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E

题意：给定一个长 \(n\) 的数列 \(a\) 和一个整数 \(k\)，你可以至多进行以下操作 \(3n\) 次：

• 选择一对 \(i,j\) 满足 \(a_i+a_j=k\)。

• 选择一个数 \(x\)，满足 \(x \in [0,k]\)。

• \(a_i \leftarrow x,a_j \leftarrow k-x\)。

问你能否在限制次数内使得数列不降。

分析：

看到“序列不降”，想到给序列排序。

排序就要想能不能实现 \(swap\) 函数。

我们想一想怎么样可以交换两个数 \(i,j\)：

• \(a_i+a_j=k\)：显然；

• \(a_i+a_x=k\)：先操作 \(i,k\) 并将 \(a_i\) 赋值为 \(a_j\)，然后再操作 \(k,j\) 将 \(a_j\) 赋值为原来的 \(a_i\)。

其它就不太好想了。

我们看第二种情况，有一个启发：我们不一定要直接交换两个数，我们可以通过一些“中转点”来实现交换。

• 若存在 \(i,j\) 满足 \(a_i+a_j=k\)，我们可以交换任意 \(x,y\) ：具体地，先交换 \(i,x\)，再交换 \(j,y\)，此时 \(a_x+a_y=k\)，直接交换即可。

那么我们按值从小到大，将值交换到最后一个有序的数的下一个位置。

可以证明这样总是可以的。

F

看不懂，鸽了。