LCT 学习笔记

一：初步认识

LCT 是一种用于解决动态树问题的数据结构。

动态树问题就是在常见的树链剖分题中加入加边和删边操作。

前置知识：Splay 树

二：实链剖分

因为动态树问题可以视为树上问题的扩展版，所以我们还是需要用树链剖分维护树上信息。

在长链剖分、重链剖分和实链剖分中，我们选择实链剖分来解决动态树问题。

实链剖分就是对于每一个节点，任选一个儿子为实儿子，其余的儿子为虚儿子；链接实儿子的边称为实边；链接虚儿子的边称为虚边。一条由实边构成的链叫做实链。

为什么我们会选择实链剖分呢？因为实链剖分最灵活且可变，你会在 LCT 的操作部分体会到这一点。

三：辅助树

动态树问题直接做不好做，因此我们要引入一个叫辅助树的东西（为了区别，我们称原来的树叫原树）。

这里有一些关于辅助树和 LCT 的一些事实：

• 为了方便理解，你可以把辅助树理解为一些 Splay 树；而 LCT 维护的就是一个由辅助树构成的森林；

• 在一颗辅助树中，一个 Splay 树维护原树上一条实链，且满足中序遍历这颗 Splay 数得到的序列对应原树上一条从上到下的路径；

• 在一颗辅助树中，每一颗 Splay 树的根节点不一定为空，它指向在原树中，这颗 Splay 树对应的实链的链顶的父节点，即一条虚边；这类父亲链接满足认父不认子的性质（即父亲节点无法通过访问子节点访问到该节点）。

• 基于上述性质，我们对原树的操作都可以转换为在辅助树上的操作。

• 这里还有一个重要性质：由第二点性质可以得知，对于一颗 Splay 树上的每一个节点，它的左儿子代表它在原树上的父亲，右儿子代表它在原树上的实儿子。

四：LCT 的实现

一些 Splay 树的操作和基本操作

和正常的 Splay 树操作基本相同，但是在细节上有区别。

#define Get(x) (x==ch[fa[x]][1])
//依据“认父不认子”的性质判断是否为 Splay 的根节点
#define Isroot(x) (x!=ch[fa[x]][0] && x!=ch[fa[x]][1])
void push_up(int x){val[x]=val[ch[x][0]]^val[ch[x][1]]^a[x];}
void upd(int x){//打标记
    if(!x) return;
    swap(ch[x][0],ch[x][1]),tag[x]^=1;
}
void push_down(int x){//下传标记
    if(tag[x])
        upd(ch[x][0]),upd(ch[x][1]),tag[x]=0;
}
void Update(int x){//从 x 出发下传标记直到 Splay 的根。
    if(!Isroot(x)) Update(fa[x]);
    push_down(x);
}
void rotate(int x){
    int y=fa[x],z=fa[y],id=Get(x);
    //这里不同，因为根节点的父亲会指向虚边的另一个端点，因此必须通过性质判断是否为根节点。
    if(!Isroot(y)) ch[z][Get(y)]=x;
    ch[y][id]=ch[x][id^1],ch[x][id^1]=y;
    if(ch[y][id]) fa[ch[y][id]]=y;
    fa[y]=x,fa[x]=z;
    push_up(y),push_up(x);
}
void Splay(int x){
    Update(x);//将沿途会访问到的点的标记下传
    for(int y;y=fa[x],!Isroot(x);rotate(x))
        if(!Isroot(y))
            rotate(Get(x)==Get(y) ? y : x);
}

Access 操作（核心）

Access(x) 的功能是构造一条实链，满足一段为 \(x\) ，另一端为这颗辅助树的根节点。

这个操作是简单的，具体地，从 \(x\) 开始：

• 将当前节点转移到根（因为只有在根节点才能处理虚边）；

• 将儿子（原树上的儿子，即辅助树上的右儿子）设为上一次的节点；

• 维护当前节点信息；

• 将当前节点变为当前节点的父亲，回到第一步；

int Access(int x){
    int p=0;
    for(p=0;x;p=x,x=fa[x])
        Splay(x),ch[x][1]=p,push_up(x);
    return p;
    //这个函数的返回值是这条实链对应的Splay的根节点，保证其父亲为空。
}

至此你已经学完 LCT 的 \(60\%\) 了。

makeroot 操作

makeroot(x) 的功能是将 \(x\) 设为当前辅助树的根。

等价于在原来根到 \(x\) 的实链上，对于每一个点，将父亲指向原来的实儿子，实儿子指向原来的父亲（好好体会一下）。

体现在 Splay 上就是交换左右儿子，用懒标记实现即可。

void makeroot(int x){
    x=Access(x),upd(x);//upd 函数的实现在前面
}

spilt 操作

spilt(x,y) 的功能是将 \(x\) 和 \(y\) 放到一个 Splay 中，以维护 \(x\) 到 \(y\) 这条路径。

实现不难想到，直接给代码。

void spilt(int x,int y){
    makeroot(x),Access(y),Splay(y);
}

find 操作

find(x) 的功能是找到 \(x\) 在原树中的根。

Access(x) 后，保证原树中的根就在 \(x\) 所在的 Splay 树中（因为这个节点始终没有离开过辅助树的根所在的 Splay 树），因此只需要不停跳左儿子即可（也就是在原树上不停跳父亲）。

int find(int x){
    Access(x),Splay(x);
    push_down(x);
    while(ch[x][0]) x=ch[x][0],push_down(x);
    Splay(x);
    return x;
}

link 操作

link(x,y) 的功能是连边 \((x,y)\)。

只需要把 \(x\) 搞到树根，并且当 Splay 的根就可以随便搞了。（当然 \(x\) 和 \(y\) 不能在同一个树中）

void link(int x,int y){
    if(find(x)==find(y)) return;
    makeroot(x),Splay(x);
    fa[x]=y;
    //因为没有连实边，所以不需要维护节点信息，也不需要Splay(y)
}

cut 操作

cut(x,y) 的功能是删边 \((x,y)\)。

先 spilt(x,y)，然后就可以随便搞了。（当然得有边）

void cut(int x,int y){
    makeroot(x),Access(y),Splay(y);
    //这个判断条件的理解：在原树上，y的父亲是x，且x没有其他实儿子。
    if(ch[y][0]==x && !ch[x][1])
        fa[x]=ch[y][0]=0;
}