P4287 [SHOI2011] 双倍回文 解题报告

P4287 [SHOI2011] 双倍回文 解题报告

简要题意

给定一个字符串 \(s\)，求出 \(s\) 中最长的子串，使得这个子串可以被分为两个相同的长度为非零偶数的回文子串（即可以被表示为\(tt^{-1}tt^{-1}\)。其中 \(t^{-1}\) 指 \(t\) 翻转后得到的字符串）。输出这个子串的长度。

数据范围：\(|s| \le 5 \times 10^5\)。

分析

首先，这个串自己就是一个回文串，因此我们只需要对 \(O(n)\) 个本质不同的回文串进行判断即可。

找出所有回文子串可以通过 Manacher 实现。

在 Manacher 中，我们在更新 \(mx\) 时，对新产生的回文子串进行判断。对于一个回文串 \(s\) ，我们可以在 \(O(1)\) 的时间内判断它是否是一个“双倍回文串”。

具体地，不妨假设目前正在处理 \(i\)（ \(i\) 一定是一个“间隔”），得到的最长回文子串长度为 \(p_i\)。枚举每一个 \(3 \le j \le p_i(j \equiv 1 \pmod 2)\)，那么有 \([i+1,i+j]=[i-j,i-1]\)，如果\([i-j,i-1]\) 是一个回文串，那么 \([i+1,i+j,i-j,i-1]\) 就是一个"双倍回文串"。我们只需要判断 \(p_{i-(j+1)/2}\) 和 \((j+1)/2\) 的大小关系即可。

时间复杂度线性。