SAM 学习笔记

初步认识

SAM 是一个有限状态自动机。

可接受状态为字符串的所有本质不同子串，转移是字符。

SAM 是满足上述条件的最小 DFA。

一：结束位置 \(endpos\) 相关引理

约定 \(1\)

我们定义：对于一个字符串 \(T\)，\(endpos(T)\) 表示 \(T\) 在 \(S\) 中所有出现的结束位置的集合； \(|S|\) 表示 \(S\) 的长度；\(S[l:r]\) 表示 \(S\) 中第 \(l\) 个字符到第 \(r\) 个字符构成的字符串。

引理 \(1\)

内容：对于 \(S\) 的任意两个子串 \(s_1,s_2\)，令 \(|s_1|\ge |s_2|\)。“ \(s_1\) 和 \(s_2\) 的 \(endpos\) 相同”是“ \(s_2\) 每次在 \(S\) 中的出现都是以 \(s_1\) 的后缀的形式”的充要条件。

证明：这个必要性显然成立，充分性证明可以考虑对于每一个位置 \(x \in endpos(s_1)\)，都有 \(s1=S[x-|s_1|+1:x],s_2=S[x-|s_2|+1:x]\)，因为 \(|s_1|>|s_2|\)，所以 \(s_2\) 是 \(s_1\) 的后缀。

举例：\(S=aabaabaabaa,s_1=aab,s2=ab\) 和 \(S=abcbabcba,s_1=abcb,s_2=cb\)。

Q.E.D

引理 \(2\)

内容：对于 \(S\) 的任意两个子串 \(s_1,s_2\)，令 \(|s_1|\ge |s_2|\)。若 \(s_2\) 是 \(s_1\) 的后缀，那么 \(endpos(s_1) \in endpos(s_2)\)；若 \(s_2\) 不是 \(s_1\) 的后缀，那么 \(endpos(s_2) \cap endpos(s_1)=\empty\)。

证明：

先证明是后缀的情况：首先，\(s_2\) 在 \(endpos(s_1)\) 中的每一个位置都以 \(s_1\) 的后缀的形式出现；然后，因为 \(|s_2| < |s_1|\) ，那么 \(s_2\) 就可能可以匹配更多的位置，比如 \(S=aabaabab,s_1=aab,s_2=ab\)。

再证明不是后缀的情况：考虑反证法，对于每一个位置 \(x \in endpos(s_1)\)。那么有 \(s_1=S[x-|s_1|+1:x]\)，如果同时有 \(x \in endpos(s_2)\)，那么有 \(s_2=S[x-|s_2|+1:x]\)，也就是 \(s_2\) 是 \(s_1\) 的后缀，矛盾！因此结论得证。

Q.E.D.

约定 \(2\)

我们定义：一个 \(endpos\) 等价类是所有 \(endpos\) 相同的字符串构成的集合。

引理 \(3\)

内容：一个 \(endpos\) 等价类中不会包含两个长度相同且本质不同的字符串。

证明：

考虑反证法。假设存在满足上述条件的两个字符串 \(s_1,s_2\)，由引理 \(1\) 可知：\(s_1\) 每次在字符串中都以 \(s_2\) 的后缀的形式出现，且 \(s_2\) 每次在字符串中以 \(s_1\) 的后缀的形式出现，也就是 \(s_1\) 和 \(s_2\) 互为后缀，因此 \(s_1=s_2\)，矛盾！因此结论得证。

Q.E.D.

引理 \(4\)

内容：考虑一个 \(endpos\) 等价类 \(A\)，对于 \(s_1,s_2 \in A(|s_1| \ge |s_2|)\)，要么 \(s_1=s_2\)，要么 \(s_2\) 是 \(s_1\) 的真后缀。

证明：

由引理 \(3\) 得：当 \(|s_1|=|s_2|\) 时，\(s_1=s_2\)。

由引理 \(1\) 得：当 \(|s_1| > |s_2|\) 时，\(s_2\) 在字符串中的每次出现都是以 \(s_1\) 的后缀的形式，因此 \(s_2\) 是 \(s_1\) 的后缀。

Q.E.D.

引理 \(5\)

内容：考虑一个 \(endpos\) 等价类 \(A\)，设 \(l,r\) 分别为 \(A\) 中的最长字符串 \(s_1\) 和最短字符串 \(s_2\) 的长度。那么 \(A\) 中所有字符串长度的并集为 \([l,r]\) 中所有整数。（即 \(endpos\) 等价类中长度连续）

证明：

由引理 \(4\) 可得： \(A\) 中所有字符串都是 \(s_1\) 的后缀，因此考虑对于集合 \(Q=\{ t | t \text{ is the suffix of } s_1,|t| \in [l,r]\}\)，我们只需要证明 \(Q=A\)，也就是证明 \(Q \subseteq A，A\subseteq Q\)。

先证明 \(A \subseteq Q\)：这是显然的，因为 \(A\) 中所有字符串都是 \(s_1\) 的后缀，且长度在 \([l,r]\) 之间。

再证明 \(Q \subseteq A\)：考虑反证法，如果存在一个字符串 \(s' \notin A\)，我们设 \(s' \in A'\)，由引理 \(2\) 可以得：\(endpos(s_2) \in endpos(s') \in endpos(s_1)\) 的同时 \(endpos(s_1)=endpos(s_2)\)，即 \(endpos(s‘)=endpos(s_1)\) ，说明 \(s’ \in A\) ，矛盾！因此 \(Q \subseteq A\)。

总结

由引理 \(1\) 至引理 \(5\) 我们可以知道，一个 \(endpos\) 等价类对应若干字符串，且这些字符串长度连续。

在 SAM 中，一个节点对应一个 \(endpos\) 等价类，这样我们就不重不漏地把所有本质不同字符串对应到 SAM 上的节点。

二：后缀链接 \(link\) 相关引理

定义 \(4\)

对于一个字符串 \(s\)，我们找到它最长的后缀 \(t\) ，其中 \(t\) 满足 \(endpos(t) \neq endpos(s)\)。设 \(endpos(s)=A,endpos(t)=B\)，我们对于 \(link(A)=B\)。

引理 \(6\)

内容：对于一个 \(endpos\) 等价类 \(A\)，我们定义 \(s\) 为 \(A\) 中的最短字符串。$A \subsetneq link(A) $，且 \(link(A)\) 中的最长字符串的长度为 \(|s|-1\)。

证明：

先证明第一部分：因为 \(link(A)\) 中的每一个字符串都是 \(A\) 中任意一个字符串的后缀，由引理 \(2\) 可知：\(A \subset link(A)\)；根据 \(link\) 的定义，我们可以知道 \(A \neq link(A)\)，结论得证；

再证明第二部分：由 \(link\) 的定义可以简单证明。

引理 \(7\)

内容：所有 \(link\) 构成一个内向树（即 Parent 树）。

证明：

由后缀链接的定义可知，从任意一个节点 \(A\) 出发，每一次走 \(link\) 访问到的节点中的每一个字符串都是 \(A\) 中最长字符串 \(s\) 的后缀，且长度严格递减，即最后一定会访问到空串。

Q.E.D

总结

\(link\) 是 SAM 中将各个 \(endpos\) 等价类（节点）链接起来的重要信息。

三：构造

构造的核心目的是处理怎么加入一个节点。

一个节点显然要存三个东西（当然因题目不同可能会增加一些东西）：

• 最长字符串的长度

• 后缀链接

• 转移

这里给出一份代码：

int n,tr[N][26],ink[N]={-1},len[N],lst,tot,cnt[N];
char s[N];
void insert(int c){
    int cur=++tot,p=lst;
    //首先，lst是表示插入前整个字符串的节点
    //很明显，插入一个新字符后，长度+1
    len[cur]=len[lst]+1;
    //维护转移：
    //lst->cur 是显然的
    //因为 link(lst) 是 lst 的后缀，那么也存在 link(lst) -> cur
    while(p!=-1 && !tr[p][c])
        tr[p][c]=cur,p=ink[p];
    //接下来在找 link(cur)
    if(p==-1)//如果维护转移的时候没有冲突，那么说明 c 是一个全新的字符
        ink[cur]=0;
    else{
        //如果 tr[p][c] 已经存在，那么我们要看 tr[p][c] 和 cur 是否可以构成后缀链接关系
        int q=tr[p][c];
        if(len[p]+1==len[q])//满足 link 的定义，那么就赋值
            ink[cur]=q;
        else{
            //不满足，那就将 q 分成两个节点，其中一个节点满足条件
            int clone=++tot;
            len[clone]=len[p]+1;
            ink[clone]=ink[q];
            For(i,0,25) tr[clone][i]=tr[q][i];
            //因为 clone 满足 len[clone]=len[p]+1，因此有 tr[p][c]=clone
            //类似的，link(tr[p][c]) -> clone
            while(p!=-1 && tr[p][c]==q)
                tr[p][c]=clone,p=ink[p];
            ink[q]=ink[cur]=clone;//维护 cur 和 q 的 link
        }
    }
    lst=cur;
}
/*
关于时间复杂度的感性证明：
我们注意到：如果没有跳link的操作，那么时间复杂度一定为线性。
那么我们只需要分析跳link的时间复杂度即可
我们定义 dep 为当前可以跳 link 的次数。
每一次加入节点时，dep加1
每一次跳link时，dep减1。
因为最多加入 |s| 个节点，所以 dep 只会增加 |s| 次。
因此时间复杂度线性。
*/

四：应用

简单的应用大家应该都会，不会请看其他blog，qwq。

线段树合并维护endpos

为什么要这么做呢？因为有的时候，我们不仅想要知道 \(endpos\) 的大小，我还想知道 \(endpos\) 具体是什么，因此我们可以用线段树合并维护这个东西。

通常会用在询问一个区间子串信息，例题有：P4094，P4770。

LCT 维护 SAM

我不知道，请查。

例题有：P6292。

五：参考资料

本文参考了 Zter 大佬的blog 中的引理结构和部分证明，也推荐大家去阅读该文，因为大佬讲得太详细了。