组合数学学习笔记

组合数学学习笔记

排列组合

排列组合的定义

排列：\(A_n^m=\large \frac{n!}{(n-m)!}\)

组合：\(\large \binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

插板法

这个东西非常重要

核心思想是转化问题为往空位中插入板子；

主要难点是刻画题目限制（显然）；

Instance 1：正整数数目和

问题：现在有 \(n\) 个完全相同的元素，要求把这些元素分成 \(m\) 组，并且每组非空，求本质不同方案数。

可以把问题转化为：往 \(n-1\) 个空位中插入 \(m-1\) 个板子，因此答案是 \(\binom{n-1}{m-1}\)；

这个也是方程 \(\sum \limits_{i=1}^n x_i =m\) 的正整数解数。

Instance 2：非负整数数目和

问题：现在有 \(n\) 个完全相同的元素，要求把这些元素分成 \(m\) 组，并且每组可以为空，求本质不同方案数。

考虑怎么刻画“空组”：可以加入 \(m\) 个元素，这 \(m\) 个元素当作空位；因为所有元素完全相同，我们可以当作每一组中都有且仅有一个空位。那么这样每一种插板方案都唯一对于一种原来的合法方案。

因此答案是 \(\binom{n+m-1}{m-1}=\binom{n+m-1}{n}\)。

这个也是方程 \(\sum \limits_{i=1}^n x_i =m\) 的非负整数解数。

Instance 3：带下界的数目和

问题：现在有 \(n\) 个完全相同的元素，要求把这些元素分成 \(m\) 组，并且第 \(i\) 组至少分到 \(a_i\)，求本质不同方案数。

既然要求至少分到若干个，那就先分出去给它嘛：那么就剩下 \(n-\sum \limits_{i=1}^na_i\) 个物品，套用例二的式子，也就是 \(\binom{n-\sum \limits_{i=1}^n a_i +m-1}{m-1}\)。

这个也是方程 \(\sum \limits_{i=1}^n x_i =m\) 的满足 \(\forall_{1\le i\le n}x_i \ge a_i\) 的解数。

Instance 4：不相邻的排列

可以转化为例二的情况。

二项式定理

\[(a+b)^n=\sum \limits_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i} \]

然OIer不需要证明

多重组合数

问题：给定包含 \(n\) 个元素的可重集 \(S\)，求 \(S\) 的全排列数。

考虑元素互不相同时，全排列为 \(n!\)；因为对于相同的元素，调整先后顺序后排列本质相同，因此需要除去相同元素的全排列数。

令 \(a_i\) 表示 \(x_i\) 的个数，那么 \(S\) 的全排列为 \(\large \frac{n!}{\prod_ia_i}\)。

这样的 \(S\) 的全排列数被称为多重组合数，可以表示为 \(\binom{n}{n_1,n_2,\cdots,n_k}\)。

二项式推论

\[\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m} \]

由公示可以简单推出。

\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m} \]

这个是杨辉三角的递推式。可以用在 \(O(n^2)\) 求组合数。