CF1917E 解题报告

CF1917E 解题报告

简要题意

给出一个大小为 \(n*n (n \bmod 2 = 0)\) 的矩阵，区间初始是由全 \(0\) 构成。请往其中填充 \(k\) 个 \(1\)，使得每行每列的 \(\text{XOR}\) 值相等，或报告无解。

赛时分析

首先易证当 \(k\) 为奇数时，一定不存在可行解。因为每行的 \(\text{XOR}\) 值相同，所有每行的 \(1\) 的个数相同，因此 \(k\) 一定为偶数。

然后我们想到当 \(k\) 是 \(4\) 的倍数时，肯定有解，因为我们可以不停地用 \(2 \times 2\) 的全 \(1\) 矩阵填满它。

但是当 \(k\) 满足 $k \equiv 2 \pmod 4 $ 时，是否存在解，不知道。

正解

考虑极限情况，如果当 \(k=2\) 或 \(k=n^2-2\) 时，当且仅当 \(n=2\) 时有解。

然后是最重要的部分：除了上面这两种情况，其他满足 $k \equiv 2 \pmod 4 $ 的 \(k\) 都可以通过先放 \((1,1)\)，\((1,2)\)，\((2,1)\)， \((2,3)\)，\((3,3)\)，\((3,2)\)，然后再用剩下 \((k-6)\) 个 \(1\) 去按之前方法填充矩阵。

特别地，如果 \(k=n^2-6\)，我们可以再在上述方案的基础上，再填充 \((2,2)\)，\((2,4)\)，\((4,2)\)，\((4,4)\) 来满足条件。