CF2098C 解题报告

题目概述

在一个 \(n*m\) 的平面上，有一条通过四连通形成的长 \(2k+1\) 的路径。现在给出所有奇数位置的坐标，求可能的路径数量。

赛时分析

首先考虑最简单的情况：两个编号相邻的点，如果可行，那么它们的曼哈顿距离一定为 \(2\)。在此基础上，如果它们的横（纵）坐标相同，那么显然就一种方案；如果它们的横纵坐标都不相同，那么就有两种情况。

所以答案一定是 \(2\) 的若干次方？

但是很快，我们发现，如果存在像 \((1,2) \rightarrow (2,3) \rightarrow (3,2)\) 这样的坐标序列，那么这三个点一共只有 \(3\) 种方案，这便使我们刚刚”感性“理解得出结论推翻了。再次观察，我们发现这类不符合上述规律的点集，它们之所以会不满足条件，是因为其中一个点本来可以任意选取的空点被其他点占用了。

因此我们考虑，如果两个斜相邻的点，将它们可以选用的空点合并到一个并查集中，那么上述点集的空点一定在同一个并查集中。暴力枚举每一个点集，用搜索遍历每一种可能空点分配方案，最后所有点集分配方案的乘积就是答案。

但是遗憾 \(\text{WA}\)

题解

其实已经接近了。

Trick:将斜相邻的点可以选用的空点之间连边，然后给边定向（由不选的指向被选的），需要保证每一个点只有一条入边

很巧妙的方法！

接下来是分类讨论：

对于一个大小为 \(sz\) 的连通块：

• 如果该连通块中有超过 \(sz\) 条边，那么该情况无解（抽屉原理）；

• 如果该连通块构成了一个首尾相连的环，那么该连通块对答案的贡献为 \(2\)（显然，我们有顺时针和逆时针两种定向方案）；

• 在不满足上一点的前提下，如果该连通块构成了一棵环基树，那么该连通块对答案的贡献为 \(1\) （它只能由环向外，不然在链和环合并的节点的入度就不为 \(1\) 了）；

• 如果该连通块是一棵树，那么它对答案的贡献是 \(sz\) （以任意一点为根，深度小的节点指向深度大的节点，都是一种方案）；

所有连通块的贡献相乘即可。