[CCO 2020] Interval Collection 解题报告

P6645 [CCO 2020] Interval Collection 题解

题意概述

给定一个由区间构成的可重集 \(S\)，求 \(S\) 的一个非空子集，使得 \(P\)，使得在所有 \(S\) 的非空子集中，\(P\) 中所有区间的交最小，且 \(P\) 中所有区间的右端点最大值和左端点最小值的差最小。多次询问，\(S\) 会加入和删除区间，保证所有操作合法。

初步分析

自己计算求几次符合条件的非空子集可以发现，一定存在一种构造方案，使得子集中只由两个区间构成。
这是很容易证明的：假设子集中原来只有 \([l_1,r_1]\) 和 \([l_2,r_2]\)　两个区间（\(r_1 \le l_2\)），那么它们的交为 \([l_2,r_1]\)；如果加入第三个区间 \([l_3,r_3]\) 使得它们的交改变了，那么新的交要么是 \([l_2,r_3]\)，要么要是 \([l_3,r_1]\)，要么是 \([l_3,r_3]\)。可以发现新的交只由三个区间中的一个或两个区间的端点构成，因此完全可以只用这一个或两个区间构成交更小的子集。
那么问题转化为怎么找到这两个符合条件的区间。这个问题比较难，我们可以简化问题：不带修怎么做。
为了便于思考，我们可以将区间分成两类。一类是交为空的；另一类是交不为空的。
对于第一类，我们可以考虑先将所有区间按左端点从小到大排序。对于一个区间 \([l,r]\)，与其交最小要么是最后一个区间，要么是左端点大于 \(r\) 的且右端点最小的区间。枚举即可。
对于第二类，我们发现，如果作为答案的两个区间交非空，那么说明此时所有区间的交非空，并且等于作为答案的两个区间交。所以，我们只需要求出所有区间的交 \([l,r]\)，并且找到以 \(l\) 为左端点的区间的右端点最小值和以 \(r\) 为右端点的区间的左端点最大值。
为了快速得到这两个值，我们想到：对于每一个位置，维护以这个位置为左端点的区间的右端点最小值，和以这个位置为右端点的区间的左端点最小值。

深入分析

进一步地，我们发现上面所述的信息具有可合并性，因此可以用线段树维护。具体地，线段树上一个维护区间 \([l,r]\) 需要维护左端点在 \([l,r]\) 的区间的右端点最小值 \(mxr\) 和右端点在 \([l,r]\)为的区间的左端点最小值 \(mnl\)。
但是这还不够，为了求出由没有交的区间构成的答案 \(ans\)，我们还需要再维护当前节点的答案。为了确保这个构成这个答案的区间的交一定非空，非叶子节点的答案为左儿子的 \(mxr\) 减去右儿子的 \(mxr\)；叶子节点就用自己的 \(mxr\) 和 \(mxr\) 相减就行。最后答案就是根节点维护的答案。
如果构成这个答案的区间由交非空的区间构成。我们按之前所述查询即可。

让我们动起来

解决了静态问题，现在该思考怎么动态维护。我们可以这么思考：现在我们已经处理完了前若干的区间，现在新加入/删除了一个区间 \([l,r]\)，我们应该怎么维护？
这很简单，在 \(l\) 位置更新右端点最小值，在 \(r\) 位置更新最大值。但是我们发现，在加入区间时，即使不能作为最值的数据，它也不能丢弃，因为在最值对应区间被删除后，它可能成为新的最值。
因此我们需要一种数据结构，它可以有序地存储数据，并且支持修改，时间复杂度为 \(O(logn)\) 及以下。这种数据结构可以是优先队列。
但是有个问题：在删除时，非堆顶元素无法直接删除。考虑到：一个原本不在堆顶的元素，对应区间被删除后，还会因为操作来到堆顶，当且仅当这个操作为删除操作。所以我们可以考虑记录每个区间的个数，在删除操作时，如果新的堆顶元素对应区间以及被删除了，那么将其弹出，再反复这个过程。
这么做时间复杂度对不对呢？我们可以分析：

• 对于加入区间，每一次线段树单点修改并往优先队列压入元素都是\(O(log^2Q)\)的，因此这部分的时间复杂度为 \(O(Qlog^2Q)\)；
• 对于删除区间，因为每个区间的每个端点最多进出堆各一次，再乘上线段树单点修改的开销，这部分的时间复杂度为 \(O(Qlog^2Q)\)。

因此总时间复杂度为 \(O(Qlog^2Q)\)（实际跑下来最慢点也不到 \(1.2s\)）。
talk is cheap,show me the code

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define For(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define Down(i,s,t) for(int i=s;i>=t;i--)
#define ls (i<<1)
#define rs (i<<1|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
inline int read(){
    register int x=0;
    char c=getchar();
    while(c<'0' || '9'<c) c=getchar();
    while('0'<=c && c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=getchar();
    return x;
}
void write(int x){
    if(x>=10) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e6+10;
int n;
struct Tree{int l,r,mnr,mxl,ans;}t[N<<2];
void push_up(int i){
    t[i].mnr=min(t[ls].mnr,t[rs].mnr);
    t[i].mxl=max(t[ls].mxl,t[rs].mxl);
    t[i].ans=min(t[ls].ans,t[rs].ans);
    t[i].ans=min(t[i].ans,t[rs].mnr-t[ls].mxl);
}
priority_queue<int,vector<int>,less<int> > q1[N];//大根堆
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2[N];//小根堆
map<pii,int> exist;
void build(int i,int l,int r){
  t[i].l=l,t[i].r=r;
  if(l==r){
    t[i].mnr=inf;
    t[i].mxl=-inf;
    t[i].ans=inf;
    return;
  }
  int mid=l+r>>1;
  build(ls,l,mid);
  build(rs,mid+1,r);
  push_up(i);
}
void update(int i,int x,int type,int val){
    if(t[i].l==t[i].r){
        if(type) 
            q1[x].push(val),t[i].mxl=q1[x].top();
        else
            q2[x].push(val),t[i].mnr=q2[x].top();
        t[i].ans=min(t[i].ans,t[i].mnr-t[i].mxl);
        return;
    }
    int mid=t[i].l+t[i].r>>1;
    if(x<=mid) 
        update(ls,x,type,val);
    else
        update(rs,x,type,val);
    push_up(i);
}
void Del(int i,int x,int type){
    if(t[i].l==t[i].r){
        if(type){
            while(!q1[x].empty() && exist[make_pair(q1[x].top(),x)]==0) q1[x].pop();
            t[i].mxl=(!q1[x].empty() ? q1[x].top() : -inf);
        }
        else{
            while(!q2[x].empty() && exist[make_pair(x,q2[x].top())]==0) q2[x].pop();
            t[i].mnr=(!q2[x].empty() ? q2[x].top() : inf);
        }
        t[i].ans=t[i].mnr-t[i].mxl;
        return;
    }
    int mid=t[i].l+t[i].r>>1;
    if(x<=mid) 
        Del(ls,x,type);
    else
        Del(rs,x,type);
    push_up(i);
}
int query(int i,int x,int type){
    if(t[i].l==t[i].r)
        return type?t[i].mxl:t[i].mnr;
    int mid=t[i].l+t[i].r>>1;
    return x<=mid?query(ls,x,type):query(rs,x,type);
}
char opt[5];
int main()
{
    n=read();
    int l,r;
    build(1,1,1e6);
    For(i,1,n){
        scanf("%s",opt),l=read(),r=read();
        if(opt[0]=='A'){
            exist[make_pair(l,r)]++;
            update(1,l,0,r);
            update(1,r,1,l);
        }
        else{
            exist[make_pair(l,r)]--;
            Del(1,l,0);
            Del(1,r,1);
        }
        if(t[1].mxl>t[1].mnr) 
            write(t[1].ans);
        else
            write(query(1,t[1].mxl,0)-query(1,t[1].mnr,1));
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}