势能分析法 学习笔记

势能分析法

概述

在进行部分操作时，我们操作的复杂度不一定符合题目要求（额外操作）；但是如果 它的总复杂度 是符合要求的，那么这个操作也可以使用。

这种分析方法（思想）成为 势能分析法

分析

在进行势能分析时，关键是找到 总复杂度，其次是论证总复杂度是随着额外操作的进行而严格递减的。

为了找到总复杂度，我们可以尝试分析 每一部分代码的复杂度和调用次数

例子

典例1：线段树合并

inline int merge(int x,int y){
    if(!x || !y) return x+y;
    sum[x]+=sum[y];
    ls[x]=merge(ls[x],ls[y]);
    rs[x]=merge(rs[x],rs[y]);
    return x;
}

当 $ x \leq logN $ 且 $ y \leq N $ 时，且进行 \(N\) 次操作，总复杂度是\(O(nlogn)\)级别的。

首先除去递归部分之外，时间复杂度主要消耗在第一行和第二行。

我们逐个分析：

• 对于第一行，只有在两个节点中的一个点是空节点时，我们才会运行，因此运行次数等于空儿子个数。有二叉树的性质，我们可以得知，这个数值等于 \(\text{叶子个数}+\text{只有一个儿子的节点数}\) 由 \(x\) 和 \(y\) 的约定可以得知，在每一次操作中，这部分的时间复杂度不超过 \(O(logn)\)。

• 对于第二行，每一次运行都会时总节点个数减一，而总节点个数是一定的，因此这部分时间复杂度不超过 \(O(nlogn)\)。

综上这部分代码的总复杂度是 \(O(n*logn+nlogn)=O(nlogn)\) 的。

总结

只要找到时间复杂度开销大的地方，进行分析，找到总量，明确递减，就说明算法可行。