非线性方程与方程组的数值解法

方程求根与二分法

  1.原理

        二分法基本原理是：零点定理

  2.二分法

        根据零点定理判断均分点的选择，依次分下去，能够求解到对应的值

        优点：计算简单

        缺点：收敛太慢

不动点的迭代法及其收敛性

 1.不动点及其不动点迭代

        基本思想：将隐式的方程化成显式的计算公式

        几何上的理解：（额额额额，不知道怎么放上去，那就算了）

        公式的表示：

f(x)=0 —> x=g(x)

        迭代的格式为:

X(k+1)=g(X(k)）

 2.不动点的存在性与迭代法的收敛性

		迭代收敛的定理1：g(x)满足两个条件：

						1.对于任意的X∈[a,b]都有a≤g(x)≤b

						2.存在正常数L<1,使对任意的x,y∈[a,b]都有

|g(x)-g(y)|≤L|x-y|

						则g(x)在[a,b]上存在唯一的不动点X*

		定理1的误差：

|Xk-X*|≤L/(1-L)|X1-X0|

		定理的1的推论：存在X*的某个领域，|g(x)`|<1，则迭代法局部收敛

3.局部收敛与收敛阶

		定理的1的推论：存在X*的某个领域，|g(x)`|<1，则迭代法局部收敛

		收敛阶数：根据迭代值减去真实值的比值，前后相邻两次相比的次数关系确定是线性收敛，平方收敛，超线性收敛

迭代收敛的加速方法

  1.艾特金加速方法

	原理：微分中值定理

	原理公式：

                    X1-X*/X2-X*=X2-X*/X3-X*

	推出的迭代公式：

                    X(k+1)=Xk-(X(k+1)-Xk)²/(Xk-2X(k+1)+X(k+2))

2.斯特芬森迭代法

	迭代法：

                    X(k+1)=Xk-(Yk-Xk)²/(Zk-2Yk+Xk)

                    Zk=h(Yk)

                    Yk=g(Xk)

牛顿法

  1.牛顿法及其收敛性

	基本思想：将非线性方程线性化，将非线性方程逐步递归成某种线性方程组求解的办法

	基本思想的公式表示：

                    f(x)=f(Xk)+f`(Xk)(X-Xk)

	由基本思想公式可以推出迭代公式:

                    X(k+1)=Xk-f(Xk)/f`(Xk)

	优点：迭代速度快

	缺点：1.每步都需计算f(x),f`(x),计算量大，且困难

		    2.初始解只有在解的附近才能保证 

 2.简化牛顿法与牛顿下山法

	简单牛顿法

		迭代公式：

                          X(k+1)==Xk-Cf(Xk)

		根据迭代函数的基本性质可知：

			|1—Xk-Cf(Xk)|<1可以推导出0<Cf`(x)<2,若满足此条件，则迭代法局部收敛

	牛顿下山法：

		条件：在原有的牛顿法上加上：

                          |f(X(K+1))|<|f(Xk)|

  3.重根情形

	重根不处理则是线性收敛

	重新构造迭代公式可以实现平方收敛

	迭代函数；P227

弦切法与抛物线法

  1.弦切法

	弦切法：将牛顿法的f(x)用线性插值来表示

  2.抛物线法

	抛物线法：将牛顿法的f(x)用抛物线插值表示