bzoj2179【FFT快速傅立叶】

题意：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2179

sol  ：FFT，感觉有篇博客写的不错：https://www.zybuluo.com/397915842/note/37965

　　　给你两个多项式or大整数，求乘积

　　　考虑要想确定一个n阶多项式∑ai*(x^i)，需要n+1个点

　　　设多项式A,B，将其分别拆成2n+1个点(ai.x,ai.y),(bi.x,bi.y)，则其乘积为(ai.x*bi.x,ai.y*bi.y)所对应的多项式

　　　而FFT是用于加速函数式和点值式的相互转化的，这里仅讨论函数式→点值式的转化

　　　考虑将x赋值为e^0 ~ e^(n-1)，e=cos(π*i/n)+sin(π*i/n)*sqrt(-1)，这样即可使向量构成一个圆，且满足e^n=e^0

　　　对于原式∑ai*(x^i)，考虑分治，将其按i的奇偶分成两块，即∑ai*xi(i为奇数)+∑aj*xj(j为偶数)

　　　考虑解决左半边，将x提出后可化为x*∑a(2i+1)*x^(2i)，这里我们发现虽然i减半了，但是x的次数并没有变

　　　考虑将x赋值为e^k，则原式可化为x*∑a(2i+1)*e^(2ik)，即x*∑a(2i+1)*(e^2k)^i

　　　那么当k<n/2时原式可看做x*∑a(2i+1)*x^i，而当k>n/2时设t=k-n/2，则e^2k=e^2t，令k=t即可回到k<n/2的问题

　　　于是我们便可以递归解决该问题了，P.S.为方便实现，我们可以将n补成2的整数次幂

　　　对于点值式→函数式的变换，再做一遍FFT即可，不过e的纵坐标要取负，ai’=n*ai

　　　P.S.蝴蝶变换可以将代码变成非递归的，优化常数：http://www.cnblogs.com/zpfbuaa/p/5081155.html

　　　代码抄黄学长的OTZ......

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<complex>
#define pi 3.141592653589
using namespace std;
const int Mx=200010;
typedef complex <double> C;
int n,m,l,r[Mx],c[Mx];
char s[Mx],t[Mx];
C A[Mx],B[Mx];
void fft(C *A,int tag)
{
    for(int i=0;i<n;i++) if(r[i]>i) swap(A[i],A[r[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1)
    {
        C e(cos(pi/i),tag*sin(pi/i));
        for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
        {
            C ei=1;
            for(int k=0;k<i;k++,ei*=e)
            {
                C x=A[j+k],y=ei*A[j+k+i];
                A[j+k]=x+y,A[j+k+i]=x-y;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%s%s",&m,s,t);
    for(int i=0;i<m;i++) A[i]=s[m-i-1]-'0',B[i]=t[m-i-1]-'0';
    for(n=1,m<<=1;n<m;n<<=1) l++;
    for(int i=0;i<n;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));//蝴蝶 
    fft(A,1),fft(B,1);
    for(int i=0;i<n;i++) A[i]*=B[i]; fft(A,-1);
    for(int i=0;i<n;i++) A[i]/=n;
    for(int i=0;i<m;i++) c[i]=(int) (A[i].real()+0.1);
    for(int i=0;i<m;i++)
        if(c[i]>=10) c[i+1]+=c[i]/10,c[i]%=10;
        else if(!c[i]&&i==m-1) m--;
    for(int i=m-1;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);
    return 0; 
}