摘要：问题 设$\mathbb P$为全体素数的集合,证明级数$$\sum_{p\in\mathbb P}\frac{1}{p}$$发散.证明 做这个问题前，必须知道一个常识:全体素数集$\mathbb P$是无限的.所以题中才能作为级数.如果结论不成立,则存在$k\in\mathbb N$使得$$\... 阅读全文

摘要：问题 证明级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos( \frac{\pi} { 2} \log n)}{n}$$发散.证明 取$$m=\left[e^{4N}+1\right],n=\left[e^{4N+1}\right]$$那么当$x\in[m,n]$时,函数$\... 阅读全文

摘要：问题 设$f$是$\mathbb R$上的周期函数,记$$S=\{T>0:f(x+T)=f(x),\forall x\in\mathbb R\}$$根据确界原理显然$S$有下确界${\rm inf}S$,求证要么${\rm inf}S=0$,要么${\rm inf}S\in S$.证明 只需注意... 阅读全文

摘要：问题 设$f$定义在$\mathbb R$上,若$f$在每个点上都是极大值点,证明存在区间$I$使得$f$在$I$上常值.证明 如果$f$在任何闭区间上都不常值,$\forall x_{1}\in \mathbb R$,由于它是极大值点,从而存在$a_{1}>0$使得当$$x\in I_{1}=... 阅读全文

摘要：设$f$是$\mathbb R$上的周期为$1$的且$C^1$的函数.如果$f$满足条件$$f(x)+f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f(2x),x\in\mathbb R$$证明$f(x)\equiv0$.证明 设$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{... 阅读全文