离散组合数学20年到18年真题整理

一.用逻辑符号表达下列语句（论域为包含一切事物的合集）

1.确诊者并不都有症状（注：需给出两种形式表达，一种用存在量词，一种用全称量词）

2.有些老人不喜欢宠物

1.过平面上的两个点，有且仅有一条直线通过

2.并不是所有的士兵都想当将军，而且不想当将军的士兵未必不是好士兵（一种形式，包含全称量词和存在量词）

1.集合A的任一元素的元素都是A的元素

2.天下没有长相完全一样的两个人（要求写出两种形式，一种用全称量词，一种用存在量词）

1.只有天不下雨，我才开车出行。

2.猫必捕鼠。（给出两种表达，一种用全称量词，一种用存在量词）

 二.填空题

1. 设集合A有50个元素，则由集合A可构成________个子集。其中有________个子集其元素个数为奇数。

2. 让5位中国籍学生和5位英国籍学生排成一排，要求中国籍学生和英国籍学生交叉出现，即同国籍的学生不能相邻，则有______种不同的排法。

3. 函数f(x)=(1-3x)^-2中，x^4的系数是______.

1.集合A={1,2,3,4,5,6,7}, A上的一个划分={{1,2},{3,4,5}, {6,7}}. 那么所对应的等价关系R包含的有序对的个数是______个.定义偏序关系为集合A上的整除关系,则这个偏序关系上含有的有序对个数是______个.集合A上有____个既是对称又是反对称的关系.

2.已知集合A={a,b,c,d}上的两个关系R1={<a,a>,<a,b>,<b,c>},R2={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}.则R2^2=________________________, R2⚪R1=___________________

3.一个商店提供了3种不同的钢笔, 假设顾客小王进店时, 每种钢笔至少有5支.则小王选5支钢笔的方式有(_____)种.

4.设Km,n是两部分分别有m和n个顶点的完全二部图, 则Km,n的着色数是(_____)

5.设树T的顶点集合为V={v1, v2, ..., vn}, T的平均度为.请用D表示出树T的顶点个数n=_______

1.设A={∅，{∅}}，计算∅-A=____∅______，A-P(∅)=_______∅__________，P(A)-{∅}=_{{∅}，{{∅}}，{∅，{∅}}}_，P(A)⊕A=_{{{∅}}，{∅，{∅}}}_.（其中P(A)表示A的幂集）

2.按照无穷公理表示的自然数以及连续统假设，用最简洁的形式写出下列计算结果，其中N表示自然数集合，R表示实数集合。

∩30=____∅______,∩{18,27}=______18_______,|𝐍𝐍|=____________,|𝑹𝑹|=___________

3.将函数f(x)=(𝟏+𝒙+𝒙𝟐+𝒙𝟑+⋯)²(𝒙𝟐+𝒙𝟑+𝒙𝟒+⋯)³ 展开后𝒙𝟏𝟒系数是___495_____

4.如果平面图和它对偶图是同构的，则称此平面图是自对偶的。若G是有n个顶点，m条边的自对偶图，求n和m满足关系式是___m=2n-2____（此关系不含有n和m以外的其他变量）

5.设图G是共有10个顶点边数最多的三部图，则G有____33_________条边。

6.有六对夫妇坐在一个圆桌旁，其中通过转圈得到的坐法视为相同的坐法，𝑺𝒊表示i对夫妇坐一起，则同时满足𝑺𝟏，𝑺𝟑和𝑺𝟔的坐法有_   8*8!___种。

 

三.计算题

1.由P↑Q=¬(P∧Q)，试仅用与非联结词↑分别表示出：

（1）¬P

（2）P∧Q

（2）P→Q

2.对任意正整数n≥2，给出C(n,1) + C(n, 2)+…+(Cn, n)的最简表达式（即计算其值），其中C(n,i)表示从n个元素中取i个元素的组合数。

1.个体域为{a,b,c},将下列公式写成命题逻辑公式

2. 计算下式的主析取范式和主合取范式，写出求解步骤，结果用极小项和极大项数字表示简洁形式

(要求写出详细运算步骤)

1.有120个学生参加考试，共有A、B、C三道题。已知三道题都做对的有12个学生，作对A、B都有20个学生，做对A、C的有16个学生，做对B、C都有28个学生，做对A的有48个学生，做对B的有56个学生，有16个学生一道题也没有做对，试求仅做对C的学生有多少个？

 

四.解/简答题

1. 由2，4，6，8（数字可重复使用）这四个数字组成的n位数中（n≥2）要求含偶数个2，奇数个4且至少含1个6，数字8出现的次数不加限制。设满足这些条件的n位数的个数为an。

（1）求a1, a2, a3…, an…对应的指数型母函数g(x)。

（2）求an的表达式。

2. 有５个人雨天带伞参加会议，每人带一把伞，进入会场时随意放伞，结束时每人随意拿一把伞离开，问：

（１）每人拿到的都不是自己的伞的排列数。

（２）至少有一人拿到自己伞的概率是多少？

1. 写出集合A上的一种关系，它既是等价关系，又是偏序关系，并简要说明这种关系的特点。

2.

 

3.

1.4名同学同时参加英语和德语面试，要求每门科目只能同时面试1人，2门科目面试时间先后顺序认为是不同的，试问共有多少种不同的面试次序？

2. 求满足递推关系𝒉𝒏=5𝒉𝒏−𝟏−6𝒉𝒏−𝟐中𝒉𝒏的表达式，其中初始条件𝒉𝟎=1，𝒉𝟏=-2

1.

 

五.证明题

1. 设A为n元集，R是A上的关系，则比存在两个非负整数使s和t，使得R^s=R^t

2.简单图G中顶点的最小度为k，证明G中存在一个最少为k的路

1.证明下面恒等式

 

，

1、对非空集合A上的关系R，若R是非自反和传递的，证明R是反对称的。

2、设𝑲𝒏是n个顶点的完全图，用红、蓝两种颜色给𝑲𝟗的边任意着色。

1)证明𝑲𝟗中至少存在一个顶点v，使得v关联红边个数不是3。

2)证明必有蓝色的𝑲𝟒或红色的𝑲𝟑。

 

 

1.