动态规划

动态规划：

• 特点：核心是状态转移【由许多的重叠子问题组成】，

  • 当前状态依赖于上一个状态【递推公式】，
  • 其次是初始化【对初始情况进行讨论】
  • 遍历顺序：状态的推到方向判断【回文字串】

• 经典题型：

  • 基础题型：

    • 斐波那契数：递推公式的推导；
    • 爬楼的方法：多个状态相互叠加得到下一个状态；
    • 爬楼梯的消耗：多个状态相互直接的min，得到下个状态；
    • 不同路径：推导公式在题目中，关键点在初始化；
    • 不同路径II：有障碍，增加路径判断；
    • 整数拆分：贪心更简单，动态规划：拆分为【两个数之和，至少三个数之和】取最大值；
    • 不同的二叉搜索树：递推公式的推导，左子树，右子树；

  • 背包问题：

    • 理论：

      • 背包容量：一定；
      • 物品
        • 体积：物品体积一定；
        • 价值：物品价值一定；
        • 数量：
          • 只有一个：01背包；
          • 无数个：完全背包；
          • 不同物品，数量不同：多重背包；
      • 整体上，分别是背包遍历和物品遍历，一个二维的动态规划；
      • 递推公式：
      • 初始化：是对物品dp[0][i]进行初始化；
      • 遍历顺序：先遍历物品还是先遍历背包都可，先遍历物品更好理解；
      • 组合与排列取决于编列的顺序：
        • 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。【之前状态是，左上角】
        • 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。【还是有几种方法】

    • 01背包：之前的状态【使用的是左上角的值】

      • 分割子集，最后一块石头的重量：这两题都是填充背包，递推公式是求max最有价值的值；
      • 目标和：是一定能分割，求分割的方法有多少种，递推公式是相加，还有初始化考察点，当物品体积为0的时；
      • 1和0：是一个三维的0-1背包问题；

    • 完全背包：之前状态【以当前点为角的左上角【不包含当前点】】

    • 多重背包：

      • 相当于对物品在进行迭代一次【单次取一个，两个，三个...】，转化为01背包问题；

    • 总结：

      • 背包递推公式：

        • 是否能装满，最多能装多少，最大价值，最小个数：

          \[dp[j] = (min||max) (dp[j], dp[j - num[i]] + num[i]) \]

        • 问装满背包有多少种方法：

          \[dp[j] = dp[j] + dp[j - num[i]] \]

        • 遍历顺序：【物品 背包】

          • 01背包，完全背包：通常是先物品，在背包【组合】；
          • 完全背包：必须先背包，在物品【排列】；

        • 细节对于一维dp动态数组：

          • 01之前状态：是由当前点的左上矩形状态推导【不包含该点】；【对于物体，得从后向前遍历】；
          • 完全背包：是由当前点的左上矩形状态推导【包含该点】；【直接前向遍历】

  • 打家劫舍：都是基于数组，循环链表，树，等数据结构，递推公式比较单一，考察在相关状态数，其次在于初始化；

  • 股票问题：相当于一个状态下多个节点的相互关系，交织出当前状态，通常分为持节股票节点和不迟有节点【可以交易的最大笔数】，其次初始化和之前状态数相关；

    • 从买卖一次到买卖多次【贪心，记录已有的最小值，相互关系】；
    • 从最多买卖两次到最多买卖k次【同一个状态下的不同节点】，初始化；
    • 从冷冻期再到手续费【之前状态的关系【递推】】，初始化

  • 子序列问题：

    • 子序列【不连续】

      • 最长上升【下降】子序列：是对元素的删除【双层迭代，可以回溯，超时】，dp[i]以num[i]为结尾的子序列长度；‘

      • 最长公共子序列：

        if (nums[i] == num[j]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
        } else {
            //相对顺序：正上和正左
        	dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1],dp[i][j - 1])
        }
        

      • 不相交的线：同最长公共子序列【两个数组的相对顺序不变下的公共子序列】

    • 子序列【连续】

      • 最长连续上升【下降】序列：单层迭代【可以贪心】；

      • 最长公共子数组：【二维动态数组，dp】，以dp[i][j]的是num1[i]和num2[j]的最长子数组；

        if (nums[i] == num[j]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
        }
        //有序，是对角线有序，
        //相对顺序：正上和正左
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1],dp[i][j - 1])
        

      • 最大子数组和：可以贪心

    • 距离编辑

      • 判断子序列：两个子序列的并集【相对顺序：正上和正左】；

        判断字符串的的包含：KMP算法；

        动态规划：拥有初始化，动态数组，并没有双指针性能好；

      • 子序列包含的个数：之前是判断能不能，现在是有多少种方案；

      • 两个字符串的删除操作：之前是只允许删除一个字符串；

      • 距离编辑：

        • 对一个字符串的删除，插入，替换；
          • 删除：dp[i][j - 1]；
          • 插入：相当于另一个字符串的删除，dp[i - 1][j]；
          • 替换：相当于两个字符串都删除：dp[i - 1][j - 1]；

        关键在于dp的定义，用于简化初始化，

        常见操作：删除，插入，替换，

        类似于空间换效率，相比回溯方法，将所有可能计算出来，【当前状态依赖于左上角的状态】

    • 回文字串题型：

      • 回文子串的数量：考察遍历顺序
      • 最长回文子序列：在字串的基础上，无需就是正上，正左取最大值；

      对于字符串的动态规划：一般分为相不相等，两种情况；

      五部曲：

      1. 确定动态数组dp的含义；
      2. 确定递推公式【有时候，一个状态下有多个节点，股票】
      3. dp的初始化【序列，dp的扩大定义，能更好的初始化】，
      4. 确定遍历顺序【背包问题，顺序关系组合和排序，回文，顺序关系递推公式】
      5. 举例：当前状态和哪些之前状态相关【正上，正左，斜对角，等等】；