xorshift 伪随机数生成器

xorshift 伪随机数生成器详解

一、什么是 xorshift

xorshift 是一种伪随机数生成器（PRNG），由 George Marsaglia 在 2003 年提出。它的核心思想是：

只用异或（XOR）和移位（shift）两种位运算，就能生成质量不错的伪随机序列。

名字就来自 XOR + Shift = xorshift。

它的最大优点是：

• 极快：只有异或和移位，没有乘除、取模。
• 代码短：几行就能实现。
• 周期长：合理选择参数可达到 2³²−1 或 2⁶⁴−1。
• 无需大表：不像梅森旋转需要大量状态。

因此在竞赛、游戏、嵌入式、甚至一些语言的标准库里都有应用。

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二、基本形式

2.1 最简单的 32 位 xorshift

uint32_t x = 123456789;  // 种子，不能为 0

uint32_t xorshift32() {
    x ^= x << 13;
    x ^= x >> 17;
    x ^= x << 5;
    return x;
}

这三行就是经典的 xorshift32，参数 (13, 17, 5) 是 Marsaglia 推荐的。

2.2 执行过程

每一步都是：

1. x ^= x << 13;：把 x 左移 13 位后与原 x 异或。
2. x ^= x >> 17;：把 x 右移 17 位后异或。
3. x ^= x << 5;：把 x 左移 5 位后异或。

最后返回 x，同时 x 作为下一次的种子（状态）。

2.3 为什么不能种子为 0？

如果 x = 0：

• 0 << 13 = 0
• 0 ^ 0 = 0
• 后面全是 0，永远出不来。

所以 种子必须非 0。

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三、手动模拟一个小例子

为了看清 xorshift 怎么工作，我们用 8 位 简化版（实际不推荐，周期太短），参数用 (3, 2, 1)：

初始 x = 10011001（二进制）

第一步：x ^= x << 3

x       = 10011001
x << 3  = 11001000   （左移3位，低位补0，高位溢出丢弃）
异或：
  10011001
^ 11001000
= 01010001

现在 x = 01010001

第二步：x ^= x >> 2

x       = 01010001
x >> 2  = 00010100
异或：
  01010001
^ 00010100
= 01000101

现在 x = 01000101

第三步：x ^= x << 1

x       = 01000101
x << 1  = 10001010
异或：
  01000101
^ 10001010
= 11001111

最终 x = 11001111，作为随机数输出，同时成为下一次的状态。

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四、为什么 xorshift 能生成随机数？

关键在于异或和移位是可逆的线性变换（在 GF(2) 上）。

• 每一次 x ^= x << k 或 x ^= x >> k 都是一个可逆的线性变换。
• 整个 xorshift 就是几个可逆变换的复合，因此也是一个可逆变换。
• 在 32 位空间中，非零状态共有 2³²−1 个。如果参数选得好，这个变换会遍历所有非零状态，形成一个长度为 2³²−1 的循环。
• 这就是它的周期。

所以 xorshift 本质上是在一个巨大的状态空间里做确定性的跳跃，看起来像随机。

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五、常见变体

5.1 xorshift64

uint64_t x = 88172645463325252ULL;

uint64_t xorshift64() {
    x ^= x << 13;
    x ^= x >> 7;
    x ^= x << 17;
    return x;
}

周期 2⁶⁴−1。

5.2 xorshift128

用 4 个 32 位状态，周期可达 2¹²⁸−1，质量更好。

uint32_t x, y, z, w;

uint32_t xorshift128() {
    uint32_t t = x ^ (x << 11);
    x = y; y = z; z = w;
    w = w ^ (w >> 19) ^ (t ^ (t >> 8));
    return w;
}

5.3 xorshift128+

在 xorshift128 基础上加一步加法，改善统计质量，被很多语言采用（如 V8 引擎的 Math.random 早期版本）。

uint64_t s[2];

uint64_t xorshift128plus() {
    uint64_t x = s[0];
    uint64_t const y = s[1];
    s[0] = y;
    x ^= x << 23;
    s[1] = x ^ y ^ (x >> 17) ^ (y >> 26);
    return s[1] + y;
}

5.4 xoshiro / xoroshiro

xorshift 的后继者，质量更高，周期更长，被现代语言广泛使用。

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