算法第二章实践作业

1.用自然语言描述找第k小的数的分治算法：问题：给定一个数组 A 和一个整数 k（1 ≤ k ≤ n），找出数组中第 k 小的元素。步骤：（1）选择主元：从数组 A 中随机或确定性地选取一个元素作为 pivot。（2）分区：将数组重新排列，使得所有小于 pivot 的元素都在其左边，所有大于 pivot 的元素都在其右边，等于 pivot 的元素可以放在任意一边（通常统一放在某一边或中间）。此步骤结束后，pivot 的最终位置是 p。（3）判断递归方向：如果 k==p，那么 pivot 就是第 k 小的元素，直接返回。如果 k < p，说明第 k 小的元素在 pivot 的左边，只在左子数组递归。如果 k > p，说明第 k 小的元素在 pivot 的右边，只在右子数组递归，注意在右子数组中找的是第 k - p 小的元素（因为已经排除了左边的 p 个元素）。
2.最好时间复杂度和最坏时间复杂度：最好情况下时间复杂度为 O(n)，最坏情况下时间复杂度为 O(n²)。
3.对分治法的体会和思考:核心思想：
分：将一个大问题分解成若干个规模较小、结构相似的子问题。
治：递归地解决这些子问题。如果子问题足够小，则直接求解。
合：将子问题的解合并，形成原问题的解。
但在“快速选择”算法中，“合”的阶段非常简单，甚至不需要合并，因为答案就在其中一个子问题中。
有时候，分治法并不是最优解，但它提供了清晰的思路和良好的并行化潜力。