范数

范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即①非负性；②齐次性；③三角不等式。

它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。

 

空间范数

常用范数

1-范数：║x║₁=│x1│+│x2│+…+│xn│

2-范数：║x║₂=（│x1│²+│x2│²+…+│xn│²）^1/2

∞-范数：║x║_∞=max（│x1│，│x2│，…，│xn│）

其中2-范数就是通常意义下的距离。

 

矩阵范数

通常也称为相容范数

常用的三种p-范数推导出的矩阵范数：

 

1-范数：

║A║₁ = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| } （列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值）（其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|，其余类似）；

 

2-范数：

║A║₂ = A的最大奇异值 = (max{ λ_i(A^H*A) }) ^1/2 （谱范数，即A^^H*A特征值λ_i中最大者λ₁的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵）；

∞-范数：

║A║_∞ = max{ ∑|a_1j|，∑|a_2j|,...，∑|a_mj| } （行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值）（其中∑|a_1j| 为第一行元素绝对值的和，其余类似）；

 

参考：https://baike.baidu.com/item/%E8%8C%83%E6%95%B0/10856788?fr=aladdin