堆排序

堆排序

是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。

首先简单了解下堆结构。

堆

堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；

或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。

如下图：

 

 

 

 

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：

大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]  

小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]  

ok，了解了这些定义。

接下来，我们来看看堆排序的基本思想及基本步骤：

堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。

然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。

　　a.假设给定无序序列结构如下

2.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

4.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。

这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

b.重新调整结构，使其继续满足堆定义

c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.

后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序

再简单总结下堆排序的基本思路：

　　a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

　　b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;

　　c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution
{
public:
    // 首先构建一个大根堆(len 是数组长度，index是第一个非叶子节点下标)
    void adjust(vector<int>&vec, int len, int index)
    {
        if (index > len)  // 递归出口
            return ;

        int left  = 2*index + 1; // index的左孩子
        int right = 2*index + 2; // index的右孩子
        int maxIdx  = index;

        // 将maxidx作为子树的最大值, 在下标不越界的情况下
        if (vec[maxIdx] < vec[left] && left < len)
        {
            maxIdx = left;
        }
        if(vec[maxIdx] < vec[right] && right < len)
        {
            maxIdx = right;
        }
        if (index != maxIdx)  // 最大值不是在堆顶就交换
        {
            swap(vec[index], vec[maxIdx]);
            adjust(vec, len, maxIdx);  // 递归所有的子树，构建
        }
    }

    void heapSort(vector<int>&vec, int len)
    {
        // 调用一次adjust只是进行一次的调整
        // 构建整个大根堆，从(最后一个非叶子节点向上)
        // 找到最后一个根节点，然后不断向上构建  // 3那个节点
        for (int i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)
        {
            adjust(vec, len, i);
        }
        // 这里结束之后就是一个大根堆了

        // 调整大根堆
        for(int i = len-1; i >= 1; --i)
        {
            swap(vec[0], vec[i]); // 将最大的放到数组最后
            adjust(vec, i, 0);  // 尚未排完序的部分继续进行堆排序
        }
    }

};

int main()
{
    vector<int> vec = {3,5,6,32,35,56,3};
    Solution s;
    s.heapSort(vec, vec.size());
    for(int i = 0; i< vec.size(); i++)
        cout << vec[i] << " ";
    return 0;
}

 

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