陶哲轩实分析---chapter4-->4.4 比例数中的空隙

前面两节，Tao讲解了比例数，在这一节，逐渐让我们窥见无理数的影子。真的是很有意思。

这里想要记录一下自己在证明命题4.4.5中学到的（学渣的我，慢慢感受到大神的思维的喜悦）

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命题：对于每个比例数 \({ε}>0\) ，都存在一个非负的比例数 \({x}\)，使得    \({x}^2 < 2 <({x}+ε)^2\)

证明：对比例数 \({ε}>0\) ，假设不存在非负比例数 \({x}\) 满足 \({x}^2 < 2 <({x}+ε)^2\)。

   这也即表明，只要 \({x}\) 不是负的且有  \({x}^2 < 2\) ，那么也有 \(({x}+ε)^2 <2\) ........\((1)\)成立 （由命题：不存在比例数使得 \({x}^2=2\)  可知 \(({x}+ε)^2≠2\) ）

   由于 \(0^2 <2\) ，则\(ε^2 <2\) → \((2ε)^2 <2\) → \((nε)^2 <2\).........\((2)\),（对任意自然数n）

   我比较愚笨，上面（2）式的推论没有一眼看出来，在这里备注一下，其实是由（1）式得来，其中 \((ε^2 <2) = (ε+ε)^2 <2\)，同理 \(((nε)^2 <2) = ((n-1)ε+ε)^2 <2\)。

   由命题：存在一个自然数\({N}\) 使得 \({N}>{x}\) ，可知我们可以找到一个整数 \({n}\)，使得 \({n}> (\frac{2}{ε})\) → \({nε}>2\) → \(({nε})^2 >4 >2) ........ \((3)\),

  这里补充，由于\({ε}\)也是比例数，则\({ε} = (\frac{a}{b})\)，则\((\frac{2}{ε})=2*(\frac{b}{a})=(\frac{2b}{a})\) 也是比例数

   可以看出\((2)\)和\((3)\)矛盾，则原假设不成立。