算法第三章作业 —— 最低通行费

算法第三章作业 —— 最低通行费

题目描述

一个商人要穿过 N×N 的网格，从左上角到右下角，每个格子有费用，找一条费用最少的路。商人必须在 2N-1 时间内到达，所以实际上只能向右和向下走，不能绕路。

输入格式：

• 第一行 N（1 ≤ N < 100）
• 接下来 N 行，每行 N 个整数，表示每个格子的费用

输出：最少费用

样例输入：

5
1  4  6  8  10
2  5  7 15  17
6  8  9 18  20
10 11 12 19  21
20 23 25 29  33

样例输出：

109

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1. 实践报告

1.1 最优子结构、递归方程式与边界条件

最优子结构

设 dp[i][j] 表示从起点 (0,0) 走到格子 (i,j) 的最小费用。要求走到 (i,j) 的最优解，最后一步要么从上方 (i-1,j) 向下走，要么从左方 (i,j-1) 向右走，取两者中费用较小的那个，再加上当前格子的费用 cost[i][j]。

递归方程式

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + cost[i][j]

其中 dp[i][j] 定义为从 (0,0) 走到 (i,j) 的最小费用，cost[i][j] 为格子 (i,j) 的费用。

边界条件

• dp[0][0] = cost[0][0]，起点的费用
• dp[i][0] = dp[i-1][0] + cost[i][0]，第一列只能从上方一路向下
• dp[0][j] = dp[0][j-1] + cost[0][j]，第一行只能从左方一路向右

1.2 填表说明

表的维度

二维数组 dp，大小为 N × N。

填表范围

i 和 j 均从 0 到 N-1。

填表顺序

先填 dp[0][0]，再填第一行（j 从 1 到 N-1）和第一列（i 从 1 到 N-1），然后按行优先顺序双层循环填完 i=1_N-1、j=1N-1 的所有格子。

最优值位置

原问题的最优值是 dp[N-1][N-1]，即右下角那个格子。

1.3 时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度

需要填写 N×N 个格子，每个格子的计算只需常数次比较和加法操作，因此时间复杂度为 O(N²)。

空间复杂度

dp 数组大小为 N×N，空间复杂度为 O(N²)。

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2. 对动态规划算法的理解和体会

分治和动态规划的区别是分治的子问题独立，动态规划的子问题有重叠。动态规划要满足最优子结构，就是原问题的最优解包含子问题的最优解。

写动态规划的时候，最关键的是想清楚 dp 数组到底代表什么。一旦定义清楚了，递归方程就好写了。然后注意边界条件和填表顺序，确保算 dp[i][j] 的时候它依赖的值已经算好了。

动态规划比贪心慢一点，但贪心有的时候不对，动态规划能保证对。

这次做最低通行费这题，一开始没注意时间限制 2N-1，以为可以四面八方走，后来发现实际上只能向右和向下，就变成了一个很基础的二维 dp 问题。说明审题很重要。