[BZOJ2301][HAOI2011]Problem b

[BZOJ2301][HAOI2011]Problem b

试题描述

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

输入

第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

输出

共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

输入示例

2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2

输出示例

14
3

数据规模及约定

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

题解

这就是最经典的莫比乌斯反演了。首先 [a, b][c, d]（表示 x 属于第一个区间，y 属于第二个区间）的答案可以表示成 [1, b][1, d] - [1, a-1][1, d] - [1, b][1, c-1] + [1, a-1][1, c-1] 这个形式。

接下来就是求下面这个 f(n, m, k) 了。

最后按照 [n / (kd)][m / (kd)] 分类，O(sqrt(n)) 回答询问即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int BufferSize = 1 << 16;
char buffer[BufferSize], *Head, *Tail;
inline char Getchar() {
	if(Head == Tail) {
		int l = fread(buffer, 1, BufferSize, stdin);
		Tail = (Head = buffer) + l;
	}
	return *Head++;
}
int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = Getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = Getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = Getchar(); }
	return x * f;
}

#define maxn 50010
#define LL long long

int prime[maxn], cp, mu[maxn], smu[maxn];
bool vis[maxn];
void init() {
	mu[1] = smu[1] = 1;
	for(int i = 2; i < maxn; i++) {
		if(!vis[i]) prime[++cp] = i, mu[i] = -1;
		for(int j = 1; i * prime[j] < maxn && j <= cp; j++) {
			vis[i*prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0){ mu[i*prime[j]] = 0; break; }
			mu[i*prime[j]] = -mu[i];
		}
		smu[i] = smu[i-1] + mu[i];
	}
	return ;
}

LL f(int n, int m, int k) {
	LL ans = 0;
	n /= k; m /= k;
	for(int i = 1, lst; i <= min(n, m); i = lst + 1) {
		lst = min(n / (n / i), m / (m / i));
		ans += (LL)(n / i) * (m / i) * (smu[lst] - smu[i-1]);
	}
	return ans;
}

int main() {
	init();
	int T = read();
	while(T--) {
		int a = read(), b = read(), c = read(), d = read(), k = read();
		printf("%lld\n", f(b, d, k) - f(a - 1, d, k) - f(b, c - 1, k) + f(a - 1, c - 1, k));
	}
	
	return 0;
}