[BZOJ3238][Ahoi2013]差异
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试题描述
.jpg)
输入
一行，一个字符串S
输出
一行，一个整数，表示所求值
输入示例
cacao
输出示例
54
数据规模及约定
2<=N<=500000,S由小写英文字母组成
题解
我们考虑把两部分分开计算，“∑ len(Ti) + len(Tj)” 显然可以推出公式，现在就是算“∑ lcp(Ti, Tj)”的问题了。
我们可以先把 height 数组求出来，那么 ∑ lcp(Ti, Tj) = ∑l ∑r min{ heightl, heightl+1, ... , heightr }；
接下来我们可以令 sufl = ∑r min{ heightl, heightl+1, ... , heightr }，于是这个 sufl 就可以递推转移得到了，我们只需要处理出每个位置 i 后边最靠前的位置 p 满足 height[p] < height[i]，那么 sufi = sufp + height[i] * (p - i)（想一想，为什么）。
那么最终 ∑ lcp(Ti, Tj) = ∑ sufi，问题解决。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define maxn 500010
#define maxlog 19
#define LL long long
char S[maxn];
int n, rank[maxn], height[maxn], sa[maxn], Ws[maxn];
bool cmp(int* a, int p1, int p2, int l) {
if(p1 + l > n && p2 + l > n) return a[p1] == a[p2];
if(p1 + l > n || p2 + l > n) return 0;
return a[p1] == a[p2] && a[p1+l] == a[p2+l];
}
void ssort() {
int *x = rank, *y = height;
int m = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) Ws[x[i] = S[i]]++, m = std::max(m, x[i]);
for(int i = 1; i <= m; i++) Ws[i] += Ws[i-1];
for(int i = n; i; i--) sa[Ws[x[i]]--] = i;
for(int j = 1, pos = 0; pos < n; j <<= 1, m = pos) {
pos = 0;
for(int i = n - j + 1; i <= n; i++) y[++pos] = i;
for(int i = 1; i <= n; i++) if(sa[i] > j) y[++pos] = sa[i] - j;
for(int i = 1; i <= m; i++) Ws[i] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) Ws[x[i]]++;
for(int i = 1; i <= m; i++) Ws[i] += Ws[i-1];
for(int i = n; i; i--) sa[Ws[x[y[i]]]--] = y[i];
std::swap(x, y); pos = 1; x[sa[1]] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) x[sa[i]] = cmp(y, sa[i], sa[i-1], j) ? pos : ++pos;
}
return ;
}
void calch() {
for(int i = 1; i <= n; i++) rank[sa[i]] = i;
for(int i = 1, j, k = 0; i <= n; height[rank[i++]] = k)
for(k ? k-- : 0, j = sa[rank[i]-1]; S[j+k] == S[i+k]; k++);
return ;
}
int mnh[maxlog][maxn], Log[maxn];
void rmq_init() {
Log[1] = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++) Log[i] = Log[i>>1] + 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) mnh[0][i] = height[i];
for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
mnh[j][i] = std::min(mnh[j-1][i], mnh[j-1][i+(1<<j-1)]);
return ;
}
int qhei(int l, int r) {
if(r > n) return -1;
int t = Log[r-l+1];
return std::min(mnh[t][l], mnh[t][r-(1<<t)+1]);
}
LL f[maxn], ans;
int main() {
scanf("%s", S + 1);
n = strlen(S + 1);
ssort();
calch();
// for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d%c", height[i], i < n ? ' ' : '\n');
rmq_init();
for(int i = n; i; i--) {
int l = i, r = n + 2;
while(r - l > 1) {
int mid = l + r >> 1;
// printf("[%d, %d]: %d\n", i, mid, qhei(i, mid));
if(qhei(i, mid) >= height[i]) l = mid;
else r = mid;
}
if(l <= n) l++;
// printf("%d\n", l);
f[i] = f[l] + (LL)(l - i) * height[i];
ans += f[i];
}
ans <<= 1;
// LL all = ((LL)n * (n + 1) >> 1) * (n - 1);
printf("%lld\n", ((LL)n * (n + 1) >> 1) * (n - 1) - ans);
return 0;
}
上面代码中我求每个位置的后继时用的二分，下面有一个（看上去？）暴力的求法，交到大视野上发现更快了，不知道这个暴力做法靠不靠谱。。。
我们令位置 i 的后继为 nxt[i]，那么暴力的做法就是检查位置 height[i+1] < height[i] 是否成立，如果成立那么显然 nxt[i] = i + 1，否则沿着 nxt 数组往下走一直碰到 height 值更小的位置。
填坑：这个做法其实就是单调栈。。。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define maxn 500010
#define maxlog 19
#define LL long long
char S[maxn];
int n, rank[maxn], height[maxn], sa[maxn], Ws[maxn];
bool cmp(int* a, int p1, int p2, int l) {
if(p1 + l > n && p2 + l > n) return a[p1] == a[p2];
if(p1 + l > n || p2 + l > n) return 0;
return a[p1] == a[p2] && a[p1+l] == a[p2+l];
}
void ssort() {
int *x = rank, *y = height;
int m = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) Ws[x[i] = S[i]]++, m = std::max(m, x[i]);
for(int i = 1; i <= m; i++) Ws[i] += Ws[i-1];
for(int i = n; i; i--) sa[Ws[x[i]]--] = i;
for(int j = 1, pos = 0; pos < n; j <<= 1, m = pos) {
pos = 0;
for(int i = n - j + 1; i <= n; i++) y[++pos] = i;
for(int i = 1; i <= n; i++) if(sa[i] > j) y[++pos] = sa[i] - j;
for(int i = 1; i <= m; i++) Ws[i] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) Ws[x[i]]++;
for(int i = 1; i <= m; i++) Ws[i] += Ws[i-1];
for(int i = n; i; i--) sa[Ws[x[y[i]]]--] = y[i];
std::swap(x, y); pos = 1; x[sa[1]] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) x[sa[i]] = cmp(y, sa[i], sa[i-1], j) ? pos : ++pos;
}
return ;
}
void calch() {
for(int i = 1; i <= n; i++) rank[sa[i]] = i;
for(int i = 1, j, k = 0; i <= n; height[rank[i++]] = k)
for(k ? k-- : 0, j = sa[rank[i]-1]; S[j+k] == S[i+k]; k++);
return ;
}
int nxt[maxn];
LL f[maxn], ans;
int main() {
scanf("%s", S + 1);
n = strlen(S + 1);
ssort();
calch();
// for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d%c", height[i], i < n ? ' ' : '\n');
nxt[n+1] = n + 1; height[n+1] = -1;
for(int i = n; i; i--) {
if(height[i+1] < height[i]) nxt[i] = i + 1;
else {
nxt[i] = nxt[i+1];
while(height[nxt[i]] >= height[i]) nxt[i] = nxt[nxt[i]];
}
f[i] = f[nxt[i]] + (LL)(nxt[i] - i) * height[i];
ans += f[i];
}
ans <<= 1;
// LL all = ((LL)n * (n + 1) >> 1) * (n - 1);
printf("%lld\n", ((LL)n * (n + 1) >> 1) * (n - 1) - ans);
return 0;
}
求 hack 啊。。。。。
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