从广义线性模型到逻辑回归，逻辑回归的深入理解

总结：由于逻辑回归假定y的条件分布(y|x)是伯努利分布，所以根据广义线性模型和指数分布簇的定义，它对应的假设函数是sigmoid函数。

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广义线性模型的三个假设——逻辑回归

1、 假定服从指数分布簇的某个分布(见文章后面参考)

　　逻辑回归中，，所以假定【即已知参数θ的情况下，给定x，y的条件概率服从参数的伯努利分布】,此时有。在将伯努利分布转换成指数簇的表达形式中，得知

　　（见文章后面参考）

2、假定在假设h下预测值h_θ(x)满足【即预测结果要和均值相同】

　　在逻辑回归中有

　　　　　　　　

3、 假定自然参数η与输入x之间是线性相关的，即η=θ^Tx【线性分类器体现在这】

 根据以上信息可以得到：

　　　　　　　　　　　　

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 当假定p(y|x)服从高斯分布时，可以得到线性回归

当假定p(y|x)服从多项式分布时，可以得到softmax回归（即逻辑回归扩展到多分类问题），从下面的公式可以看出，逻辑回归是softmax回归的特例

ps:k类分类问题，只需要求k-1个，因为第k个可以有前面k-1个求出(概率和=1)，所以二分类问题只需要求一个

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参考：

指数分布簇具有以下形式：

　　　　

其中η是分布的自然参数(natural parameter)，T(y)是充分统计量(sufficient statistic)，一般T(y)=y，a(η)是log partition function。e^-a(η)是起标准化作用的。

将伯努利分布转换成指数分布簇的形式

　　　　

对应到指数分布簇中有：

　　　　

此时：

　　　　

另外：