猎奇笔记

基础代数

1.绝对值转化

• \(\max(x, y) = \frac{x + y + \left| x - y \right|}{2}\)
• \(\min(x, y) = \frac{x + y - \left| x - y \right|}{2}\)

2.连续求和

• \(\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\)
• \(\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n + 1)}{6}\)
• \(\sum\limits_{i=1}^n i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\)

组合数学

1.范德蒙德卷积

• \(\binom{n1+n2}{m} = \sum\limits_{i=0}^m \tbinom{n1}{i}\tbinom{n2}{m-i}\)

2.乘法公式

• \(\binom{a}{b}\binom{b}{c}=\binom{a}{c}\binom{a-c}{a-b}\)

3.二项式反演

• \(g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}f(i) \Leftrightarrow f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}g(i)\)
• \(g(n)=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}f(i) \Leftrightarrow f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g(i)\)
• \(g(n)=\sum\limits_{i=n}^N(-1)^i\binom{i}{n}f(i) \Leftrightarrow f(n)=\sum\limits_{i=n}^N(-1)^i\binom{i}{n}g(i)\)
• \(g(n)=\sum\limits_{i=n}^N\binom{i}{n}f(i) \Leftrightarrow f(n)=\sum\limits_{i=n}^N(-1)^{i-n}\binom{i}{n}g(i)\)

杂项

1.异或是不进位加法

• \(x - y \le x \oplus y \le x + y\)

2.欧拉公式

• \(V - E + F = 2\)