Codeforces Round 1095 Div.2 做题记录

Codeforces Round 1095 Div.2

编号	CF2226
赛时解决	A,B,C
赛后订题	A,B,C,D

Solution

A

【+1min】

注意到对于 \(1\) 来说，与其他数字相乘一定是不劣的。

【+2min】

只要 \(1\) 后面有不小于它的数，那么它就能合并。

所以最后只有 \(a_n = 1\) 不能再向后合并了。

因此答案为：

\[[a_n = 1] + \sum_{a_i > 1} a_i \]

B

【+10min】

把题意改写为以下形式：

\[\max a_i = k_{\max}g, \ \min a_i = k_{\min}g \]

那么题目就是满足：

\[\max a_i - \min a_i = g \]

且对于所有 \(i \in [l,r]\)，都有 \(a_i = k_ig\)。

为什么不考虑 \(k\) 会不会产生 \(\gcd\)？因为我们有约束：

\[\max a_i - \min a_i = g \\ k_\max g - k_\min g = g \\ k_\max - k_\min = 1 \]

所以 \(k_\max,k_\min\) 天然互质，所以 \(\gcd\) 不会超过 \(g\)。又因为所有区间内的 \(a_i\) 都包含 \(g\) 这个因数了，所以 \(\gcd = g\).

【+5min】

因为 \(a\) 是一个排列，所以 \(a_i\) 两两互不相同。

而又因为 \(k_\max,k_\min\) 的限制，所以对于 \(i \in [l,r]\)，都有 \(k_\min < k_i < k_\max\) 即 \(k_\min + 1 \le k_i \le k_\max - 1\)。而 \(k_\min + 1 < k_\max - 1\)，所以不存在额外的 \(k_i\)，也就是区间只能包含两个数 \(k_\min g,k_\max g\)。

因此对于所有长度为 \(2\) 的 \(n-1\) 个区间判断下即可。

C

【+5min】

注意到取 \(m = n\)，即对整个区间操作总是不劣的。因为我们对于不想变动的 \(a_i\)，可以直接取 \(b_i > a_i\)，这样取模之后结果不变。

【+15min】

记 \(x \bmod y = z\)，那么注意到 \(z\) 的取值范围：

\[0 \le x \bmod y \le \lfloor\frac{x-1}{2}\rfloor \]

或

\[x \bmod y = x \]

【+25min】

考虑二分答案，不难发现答案的值域 \(ans \in [0,n+1]\)，考虑如何 check 答案能否达到 \(x\)。

由于我们已经说明过了 \(m = n\) 不劣，所以可以事先对 \(a\) 从小到大排序。

那么从小到大对于每一个数 \(i\)，我们分别考虑其取值：

• 如果取 \([0,\lfloor\frac{a_i-1}{2}\rfloor]\)，那么后面的 \(a_i\) 的取值区间一定是包含这个区间的，因为后面的 \(a_i\) 更大。
• 如果取 \(a_i\)，那么后面的 \(a_i\) 更大，反而有可能取不到了。因此如果 \(a_i < x\) 的话，那么就优先把 \(a_i\) 填进去。

因此先填 \(a_i\)，如果 \(a_i\) 已经被填了，那么填 \([0,\lfloor\frac{a_i-1}{2}\rfloor]\) 区间内最小的可以填的就行。

为什么要填最小可填的呢？因为这样可以用指针维护 \(\text{mex}\)，这样 \(\text{mex}\) 单调不降，所以便于我们很快找到 \(\text{mex}\) 并填进去。

check 的时间复杂度 \(O(n)\)，总时间复杂度 \(O(n \log n)\)，可以通过。

D

【+15min】

注意到对于长度为 \(2\) 的区间，如果两个数奇偶性不同，那么可以互换。

但是这并不能改变奇数、偶数内部的相对顺序。不过这告诉我们，这两类数的相对顺序是可以随意调整的。

【+20min】

考虑怎么组内互换（即奇数互换或偶数互换）。

那么考虑用 \(3\) 个数 \(x,y,z\)（如果数字数量超过 \(3\)，也能通过上面“相对顺序的调整”转化为这样的形式），其中 \(x,y\) 奇偶性相同，\(z\) 的奇偶性与它们不同。

那么当且仅当 \(z < \min(x,y)\) 或 \(z > \max(x,y)\) 时，\(z\) 会成为 \(x,y,z\) 的 \(\max\) 或 \(\min\)，此时这三个数才可以反转，也就交换了 \(x,y\)。

【+30min】

考虑如何实现，直接枚举逆序对并 check 过于复杂了，并且时间上过不了。

考虑枚举 \(x\) 作为逆序对中的后一个数，那么此时 \(z\) 合法的其中一个条件 \(z < \min(x,y) = x\) 就确定了。此时我们直接看如果整个序列存在 \(z\) 满足条件，这个 \(x\) 的所有逆序对都被解决了。

否则，为了让所有可能的 \(y\) 都存在一个 \(z\) 满足条件，我们直接找到前缀最大的 \(y\)。如果整个序列存在 \(z\) 满足条件，这个 \(x\) 的所有逆序对也都被解决了。

至此，我们尽可能解决了以上两种情况，时间复杂度线性。