Codeforces Round 1093 Div.1 做题记录

Codeforces Round 1093 Div.1

编号	CF2219
赛时解决	A,B1
赛后订题	A,B1,B2,C
rank	705

Solution

A

横杠和拐角分别有 \(p,q\) 个时，我们先考虑把拐角掰成两半，这样一共有 \(p+2q\) 个横杠。

那么最后的 \(n,m\) 必须满足 \(n(m+1)+m(n+1) = p+2q\)。

因此我们发现令 \(n \le m\) 的话 \(n\) 不会很大，也就是差不多 \(2000\) 左右就最大了。

考虑枚举 \(n\) 与此同时得到 \(m\)。手玩一下不难发现横杠的个数 \(p\) 不能少于 \(|n-m|\)，判一下即可。

B1

思想：二进制分组，差量法。

赛时神秘思路。

首先观察到如果我们两次询问分别问 \(S\) 和它的补集 \(T\) 的话，那么只有当三个相同的数（记为 \(x\)）都在同一个集合里时，\(ask(S) = ask(T)\)，否则更多的那一边有 \(1\) 个。

考虑二进制分组，因为这样一定会存在两种情况（三个数至少存在两个二进制位不同）能得到哪边有一个。询问次数 \(2 \log_2 (n+1) = 22\) 次。

得到 \(1\) 个所在的集合之后，就可以在这个集合内二分出位置。按照这种方法可以得到两个位置上的数，此时总询问次数达到了 \(66\) 次。

不过第三个位置可以直接根据二进制分组的不同，判定它和第一个位置所在的二进制位是否相同，从而直接被还原出来。因此这样可以通过。

B2

转换思考角度，发现只有 \(S\) 中有 \(3\) 个相同的数字时，\(ask(S)\) 与 \(|S|\) 的奇偶性不同。

证明显然。考虑用这一性质在 \(\log_2(n+1) = 11\) 次二分找到最后一个出现 \(3\) 次的数的位置。

然后我们把这个数固定地放到集合 \(S\) 中，并在它前面二分找到第二个位置。第一个位置寻找同理。

总的询问次数 \(3 \times 11 = 33\)。

C

有一个很不错的思路，如果两个黑点之间隔的有红点，那么它们是没法相互影响的。

因此考虑按照红点拆分出来一些小的树，使得：

• 这些树的根都是黑点。
• 红点只可能在叶子上。

具体实现并不需要拆边，而是从根开始深搜，搜到红点就停即可。

根据期望的线性可加性，最后的答案就是每棵小树的答案之和。

还有一个前置知识，如果一个事件一次发生的概率为 \(\frac{1}{p}\)，那么这个时间发生的期望次数为 \(p\)。

然后在这些树上去做 DP，没法从父亲转移，那就假设父亲的颜色！

设 \(dp[u][0/1]\) 表示以 \(u\) 为根的子树全部为红色，且 \(u\) 比父亲先或后（\(0\) 或 \(1\)）变红时，最小的期望操作次数。也就是说，\(0/1\) 分别代表了 \(u\) 变红时父亲的颜色是黑色还是红色。

那么对于叶子节点有初始值：

• 若 \(u\) 为红色：\(dp[u][0] = 0, dp[u][1] = \text{inf}\)。
• 否则：\(dp[u][0] = \inf, dp[u][1] = 1\)（只需一步一定变红）。

转移，记 \(u\) 的子节点个数为 \(m\)，其中有 \(k\) 个红点。并且红点集合和黑点集合分别为 \(S,T\)，那么：

\[dp[u][0] = \min_{1 \le k \le m} \frac{m+1}{k} + \sum_{v \in S} dp[v][0] + \sum_{v \in T} dp[v][1] \]

以及：

\[dp[u][1] = \min_{0 \le k \le m} \frac{m+1}{k+1} + \sum_{v \in S} dp[v][0] + \sum_{v \in T} dp[v][1] \]

以计算 \(dp[u][0]\) 为例，改写这个 DP 式子：

\[\begin{align} dp[u][0] &= \min_{1 \le k \le m} \frac{m+1}{k} + \sum_{v \in S} dp[v][0] + \sum_{v \in T} dp[v][1] \\ &= \min_{1 \le k \le m} \frac{m+1}{k} + \sum_{v} dp[v][0] - \sum_{v \in T} dp[v][0] + \sum_{v \in T} dp[v][1] \\ &= \min_{1 \le k \le m} \frac{m+1}{k} + \sum_{v} dp[v][0] - \sum_{v \in T} (dp[v][0] - dp[v][1]) \end{align} \]

此时 \(\sum_v dp[v][0]\) 为定值，那么随着 \(k\) 的减少（即集合 \(T\) 的扩大），我们希望贪心地优先选择 \(dp[v][0] - dp[v][1]\) 更大的值加入。

因此按 \(dp[v][0] - dp[v][1]\) 先排一遍序就好。不要忘了 \(T\) 为空也是可以的。