Codeforces Round 1089 Div.2 做题记录

Codeforces Round 1089 Div.2

编号	CF2210
赛时解决	A,B,C1
赛后订题	A,B,C1,C2

Solution

A

【+1min】

注意到 \((i+1) \bmod i = 1\)，而这里可以取等。

所以 \(a_i = n-i+1\) 即可。

B

【+30min】

卡的时间有点长。

考虑对于 \(p_i \le i\) 的情况，这对后续是没有影响的。而如果是 \(p_i > i\) 且这个被选了，那么 \(p_i\) 及其之后的就选不了了。

考虑到此时用 \(i\) 的不选去换 \(p_i\) 的选是不劣的，因此考虑所有的 \(p_i > i\) 都不被选，\(p_i \le i\) 都被选就是最优的。

答案即为 \(\sum_i [p_i \le i]\)。

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另解：

反悔贪心，本质与上面的类似。

赛时写的优先队列 priority_queue，算以 \(i\) 结束时的答案，最后取最大值。

具体实现还是挺容易的，把不合法的从队列中去掉即可。由于进出队最多一次，因此复杂度是对的。

C1

【+20min】

由于修改后所有区间的 \(\gcd\) 都要不变，这等价于相邻两个的 \(\gcd\) 不变。

考虑先算出相邻两个的 \(\gcd\)，\(g_i = \gcd(a_i,a_{i+1})\)。

然后设 \(c_i = \gcd(g_{i-1},g_{i})\)（特别地，\(c_1 = g_1,c_n = g_{n-1}\)），这样 \(a_i' = k_i c_i\)，其中 \(k_i\) 是一个正整数系数。

这部分的正确性证明，可以考虑用集合解决。

具体方法是定义每个数的质因子可重集，然后从集合角度画 Venn 图分析。

【+5min】

那么为了不干扰 \(\gcd\)，把 \(k_i\) 设为 \(1\) 就是一个极好的选择。这样既尽可能满足 \(m \le b_i\) 的限制，又不会干扰 \(\gcd\)。

所以看一下 \(k_i = 1\) 时 \(k_ic_i = a_i\) 是否成立即可，时间复杂度一只 \(\log\)。

C2

好题。

【+20min】

在 C1 的基础上思考，\(k_i\) 到底要取什么值。

如果 \(k_i\) 可以取 \(1\)，那么这就皆大欢喜了。不过这里有两种可能的其他情况：

• 若 \(b_i < c_i\)，也就是 \(k_i\) 连 \(1\) 都取不到，只能不变，\(k_i = \frac{a_i}{c_i}\)。
• 若 \(a_i = c_i\)，此时 \(k_i\) 取 \(1\) 是没有贡献的，考虑让 \(k_i\) 取一个其他的值。
  • 这个其他的值 一定是一个质数，因为保留一个质因子总是不劣的。
  • 同时，这个质数一定不会很大，不会超过 \(100\)。这是因为 \(2 \sim 100\) 内的质数全部乘到一起已经超过了任意的 \(a_i \times a_j\)，也就是在这些质数中，一定存在至少一个质数使得 \(a_i,a_j\) 中都没有这个质因子。此时 \(k_i\) 取这样的质数就能满足 \(\gcd\) 不变的条件。

所以这样跑 DP 即可，时间复杂度两只 \(\log\)，常数略大。