Codeforces Round 1073 Div.1 做题记录

Codeforces Round 1073 Div.1

编号	CF2190
赛时解决	A,B1
赛后订题	A,B1,B2,C

Solution

A

容易发现这个游戏的结束状态是唯一的，也就是所有 0 都在 1 的前面。

所以一开始就处在结束状态的话 Bob 获胜，直接判掉，接下来看 Alice。

注意到 Alice 只需要对以下两种位置操作：

• a. 处在【结束状态为 1】位置上的 0.
• b. 处在【结束状态为 0】位置上的 1.

而所有 a 情况都在 b 情况前面，因此对它们操作就能一次赢下游戏。

B1

别想复杂了。

手玩之后会发现 )(( 这个结构很优秀，因为 \(t\) 只需要在 \(s\) 的基础上扣掉 ) 和 (（也就是它左右两边的）就行了，并且答案取到上界 \(n-2\)。

所以只需要判是否包含 )(( 这个子序列即可，会发现如果上述条件成立，那么必定存在 )( 这个子串后面存在一个 (，这样也可以。

简单证一下这样得到的 \(t\) 是合法的括号串。我们下文视为删掉的 ) 和 ( 中间存在一个 (，下文提到的括号指代的均为删掉的括号。

• 对于 ) 前面的位置，没有影响。
• 对于 ) 后面的位置，由于 ) 的删除，前缀和会增加 \(1\)。又因为这一段本来前缀和是 \(\ge 0\) 的，现在变为 \(\ge 1\)。
• 对于 ( 后面的位置，由于 ( 的删除，前缀和会减少 \(1\)。又因为这一段被上述情况包含，本来前缀和是 \(\ge 1\) 的，现在变为 \(\ge 0\)，依然合法。

B2

发现 \(n \le 100\)，大力 DP。

根据上面的结论，我们要统计的是包含子序列 )(( 的所有子序列的贡献之和。

而贡献是和子序列长度相关的，最简单的思路是直接入下标，不过这样的话状态 \(O(n^3)\) 时间 \(O(n^4)\)，直接爆炸。

考虑长度能不能转换一下，反正求的是贡献之和，不如直接求长度之和。

但是贡献是 \(n-2\) 的，还需要对每个长度 \(-2\)。那就在开个 DP 数组，统计满足条件的子序列个数而不是长度就可以了。

状态数 \(O(n^2)\)，时间 \(O(n^3)\)，可以通过本题！

C

交互。题意很简单，有一个排列 \(p\)，允许 \(3n\) 次询问，每次询问是任意两个位置的大小关系。

需要还原出来一个字典序最小的排列 \(q\)，使得 \(q > p\) 且 \(rev(q) > rev(p)\)。给出排列 \(r\) 有 \(q_i = p_{r_i}\) 即可。

会发现排列 \(q\) 前一段和 \(p\) 相同，然后在某个位置上更大，最后单调递增。

考虑这个形式，字典序最小的时候 LCP 一定最长，那么考虑怎么找到这个最长的东西。

换而言之，我们需要找到最长的 LCP，使得去掉这部分后后面依旧有解。

思考什么时候无解，容易发现先递减后递增（或纯递减纯递增）是唯一的无解情况。

那么我们只需要从后往前找到这样无解的一段，然后向前扩张一个就是最短的有解情况了。

现在我们确定出 \([1,p)\) 为 LCP，考虑让 \((p,n]\) 中比 \(p\) 位置大的数中的最小值来替换 \(p\)。

我们根据后面部分的性质（即先递减后递增）来找即可，注意根据分割点左右讨论取最优值，擂台法。

替换完了之后就是两段的归并了，总的次数 \(3n\)。其实替换 \(p\) 也可以二分的，不过没必要吧。