约瑟夫环问题

已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。　　例如：n = 9, k = 1, m = 5　　【解答】

　　出局人的顺序为5, 1, 7, 4, 3, 6, 9, 2, 8。

 

链表实现：

//链表实现约瑟夫环问题 #include<stdio.h> #include<stdlib.h> typedef int ElemType; typedef struct LNode{ ElemType data; struct LNode *next; }LNode,*LinkList; LinkList init(){ LinkList L; L=(LinkList)malloc(sizeof(LNode)); L->next=L; return(L); } LinkList create(int n){ LinkList L,p,r; int i; L=init(); r=L; L->data=1; for(i=2;i<=n;i++){ p=(LinkList)malloc(sizeof(LNode)); p->data=i; r->next=p; r=p; } r->next=L; return (L); } int main(){ int i,j,n,k,m; LinkList L,p,r; scanf("%d %d %d",&n,&k,&m); if(n==0||k==0||m==0){ printf("n,k,m must be larger than 0!"); return 0; } if(k>n){ printf("n must be larger than k!"); return 0; } L=create(n); p=L; for(i=1;i<k;i++) p=p->next; for(i=0;i<n;i++){ for(j=1;j<m-1;j++) p=p->next; r=p; p=p->next; printf("%4d",p->data); if(r!=p){ r->next=p->next; free(p); p=r->next; } } free(p); system("pause"); }  

数据测试：

 

数组实现：

 

//约瑟夫环问题_环形数组实现； 

 

//约瑟夫环问题_环形数组实现； #include<stdio.h> #include<stdlib.h> void Josephas(int n,int m,int s){//函数，从第s个人开始报数； int R[1000],i,j; for(i=1;i<=n;i++) R[i]=i; for(i=n;i>=2;i--){ s=(s+m-1)%i; if(s==0)s=i; printf("%4d",R[s]); for(j=s+1;j<=i;j++) R[j-1]=R[j]; } printf("%4d",R[1]); } int main(){ int n,m,s; printf("Josephas环问题：/n"); printf("请分别输入总人数n、出列的人报的数m、从哪个人开始报数s:/n"); scanf("%d %d %d",&n,&m,&s); Josephas(n,m,s); system("pause"); }  

数据测试：

 

 

 

网上down的一个很不错的程序，只输出最后出列的人的序号，只需8行就实现，赞一个：

 

#include <iostream> int main() { for (int m,n,i,x;scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF;) { for (i=1,x=0;i<=n;++i) x=(x+m)%i; printf("%d/n",x+1); } } 

它的思想是这样的：

 

Josephus(约瑟夫)问题的数学方法


     无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个
游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n
，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间
内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，
而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，
实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出
，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组
成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
   k   k+1   k+2   ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k      --> 0
k+1    --> 1
k+2    --> 2
...
...
k-2    --> n-2
k-1    --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这
个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x
变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相
信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就
行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是
一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然
是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f[i-1]+m)%i;   (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结
果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：
#include <stdio.h>
int main(void)
{
   int n, m, i, s=0;
   printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
   for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
   printf ("The winner is %d/n", s+1);
}
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高
。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用
数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执
行效率。 

数据测试：