2025.4.8 CWOI 模拟赛T1-T2

T1 序列加法机

做过异或粽子的可能对这个 Trick 比较熟悉。

首先，我们设 \(f(x,k)\) 表示把 \(x\) 分为 \(k\) 个数的和的平方和的最小值。

容易发现，对于每一个 \(x\)，\(f(x,k)\) 一定单调递减。这个还可以 \(\Omicron(1)\) 计算，就是先均摊，多的再平均分，$ f(x,k) = (x \bmod k)(\lfloor \frac{x}{k} \rfloor + 1) ^ 2 + (k - x \bmod k)(\lfloor \frac{x}{k} \rfloor) ^ 2 $。

于是，我们就可以用一个堆，把所有值塞进去，每次取堆顶，计算完贡献之后塞回去，这样跑 \(m - cnt\) 次，因为你要对 \(cnt\) 个非 \(0\) 元素进行一次操作。

T2 摸鱼军训

首先，我们预处理 \(rev _ x\) 表示在 \(x\) 前面且 \(\gt x\) 的数的个数，其中这个 \(x\) 表示一个值。

我们发现，对于第 \(k\) 次操作后：

• 若 \(rev _ {a _ i} \ge k\)，则位置会变成 \(i - k\)，下面称为保留的元素
• 否则，我们需要先不考虑保留的元素，然后在剩下的位置按照递增顺序把不保留的元素填进去

求解 \(rev _ x \ge k\) 的是很简单的，不考虑，着重考虑 \(rev _ x \lt k\) 的。

我们需要知道这个值在所有 \(rev \lt k\) 的值中是第几个，记为 \(rank\)，然后，我们还需要找到第 \(rank\) 个空的位置。

求出 \(rev\) 和查询排名可以写两个树状数组来解决，求空的位置可以这么做：

我们建一棵线段树，大小为 \(\textbf{2n}\)，\(0\) 表示这里不是空，\(1\) 相反。对于所有 \(x \le n\)，初始化为 \(0\)，否则设为 \(1\)。

记录每个 \(x\) 对应的 \(pos _ x\)，处理这个值的时候，把 \(T _ {pos _ x}\) 设为 \(1\)。这个时间刻的所有操作执行完了，把 \(T _ k\) 设置为 \(0\)，因为前 \(k\) 个已经被移走了。

然后对于一个 \(rev \lt k\) 的询问，在线段树上二分得到第 \(rank\) 个 \(1\) 的位置，减去 \(k\) 就是答案。

第一版代码我还极其糖的写了个二分套平衡树