CWOI 2025.3.26 模拟赛

T3 忘了设初始值怒挂 15pts，本来还可以靠 95pts 挤进前八

问就是只改了这两道

T1 公约数神庙

赛时感觉写不出正解，所以直接写了个 Floyd 骗了 80pts 润了。

我们先特判掉几种情况：

• \(l = r\)，有解
• \(a _ l = 1\) 或 \(a _ r = 1\)，无解
• \(a _ l = 0\) 或 \(a _ r = 0\)，当存在 \(k \in [l,r],a _ k \gt 1\) 时有解

我们设 \(dp _ {i,p}\) 表示 \(i\) 后面最近的包含质因子 \(p\) 的位置，则我们的答案等价于 \(\bigvee dp _ {l,p _ r} \le r\)。

转移比较简单，我们倒序枚举，每次记录一个 \(pre\)，枚举 \(a _ i\) 的质因子，将 \(dp _ {i,k}\) 更新为 $ \min { dp _ {i,k},pre _ k }$，然后拿去更新 \(pre\) 就好了。

T3 城堡考古

\(m \le 6\)，并且问方案数，明示状压（其实就是之前做过一道类似的题，那题是状压）。我们先想状压的状态，发现只有竖着放会对下面有影响，则状态 \(S _ i = 1\) 表示上一层需要向下延伸。

我们只需要判断两个相邻状态是否合法。发现，两个状态不能在同一位置都是 \(1\)，并且剩下的相邻的 \(0\) 长度必须是偶数。

因此，我们可以设出一个 DP 的状态：\(dp_ {i,S}\) 表示考虑前 \(i\) 列，该列的状态为 \(S\) 的方案数。则 \(dp _ {i,S} = \sum dp _ {i - 1,fr(S)}\)，其中 \(fr(S)\) 表示能转移到 \(S\) 的状态集合。

发现这个是线性变换，用矩阵快速幂优化一下就能得到 65pts 的好成绩（直接转移可以得到高达 15pts 的好成绩）。

我们发现，慢的原因是矩阵太大了，打个表可以发现，有用的状态不多，最多只有 \(20\) 个，因此可以用一遍 DFS 来求出有效状态，这样时间复杂度可以优化为 \(O((w = 21) ^ 3 \log 10 ^ {len})\)，能过。

还有，出题人为什么一定要写个高精啊，虽然不难但是很烦欸。