概率论回想-20.10.04

前言

这是我的第一篇回想。老师讲了很多东西，和考试有关的，无关的，都有，有点杂乱无章，想在这里理清一下头绪。到十一放假前为止，老师讲到了一维离散随机变量的泊松分布。此前还讲过：

  1.一些前置知识，包括集合论的，测度论的（这是认真的吗）等等；
  2.什么是概率（概率的公理化定义、概率的频率解释和贝叶斯解释）
  3.古典概型、几何概型
  4.条件概率和独立性
  5.什么是随机变量，什么是离散随机变量，一维离散随机变量的一些分布。

那么就开始了。

乱七八糟的前置知识

1.示性函数
设\(A\subset\Omega\)，\(A\)的示性函数定义为

\[1_A(\omega)=\begin{cases} 1,\quad\omega\in A;\\ 0,\quad\omega\notin A.\\ \end{cases} \]

示性函数有一些良好的性质。

\[1_{A\cap B}=1_A1_B=\min\{1_A,1_B\}\\ 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A1_B=\max\{1_A,1_B\}\\ 1_{A-B}=1_A(1-1_B)\\ 1_A=1-1_{A^c} \]

2.\(\sigma\)代数
设\(A\subseteq P(\Omega)\).如果

\[\Omega \in A\\ S\in A\rightarrow S^c\in A\\ S_i\in A,i\ge 1\rightarrow \cup_{i=1}^\infty S_i\in A\\ S_i\in A,i\ge 1\rightarrow \cap_{i=1}^\infty S_i\in A \]

称\(A\)为\(\Omega\)上的一个\(\sigma\)代数.

什么是概率

1.概率的公理化定义
概率空间：常记为\((\Omega,F,P)\).
\(\Omega\):样本空间； \(F\):\(\Omega\)上的\(\sigma\)代数； \(P\):\(F\)上的函数

2.概率论公理：
\((\Omega,F,P)\)中的\(P\)满足
1)非负性：\(P(A)\ge 0\);
2)规范性：\(P(\Omega)=1\);
3)可数可加性：设\(A_n\in F,n=1,2,\cdots,\)互不相容，则

\[P(\cup_{n=1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \]

则称\(P\)为\(F\)上的一个概率。
概率也满足有限可加性，即

\[P(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i) \]

3.概率的频率解释：不多说了
4.概率的贝叶斯解释：是人们的主观信念。

概率的模型

1.古典概型
用来描述这样的概率空间：样本空间是有限集；每个基本时间可能性相同。
从而我们有

\[P(A)=\dfrac{\#A}{\#\Omega} \]

2.几何概型
用来描述这样的概率空间：样本空间是一个区域，事件（子区域）的概率和子区域的测度成正比，记\(\mu(A)>0\)为\(A\)的测度，则

\[P(A)=\dfrac{\mu(A)}{\mu(\Omega)} \]

条件概率与独立性

设\(P(B)>0\),事件\(B\)发生条件下事件\(A\)发生的概率为

\[P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \]

容易知道\(P_B(x)=P(x|B)\)也是概率，它满足非负性，规范性和可数可加性。

全概率公式：
事件\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)互不相容，\(P(A_i)>0(i=1,2,\cdots,n),B\subset\bigcup_{i=1}^nA_i\),那么

\[P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i) \]

将全概率公式和条件概率公式联合，即可得到贝叶斯公式：

\[P(A_i|B)=\dfrac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)} \]

其适用范围和全概率公式是一样的。

独立性：对事件组\(\{A_1,A_2,\cdots,A_n\}\)，若满足性质

\[P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n) \]

且其任意非空子集都满足这一性质，则称这个事件组中的\(n\)个事件是相互独立的
。注意，若事件组中的任意两个事件相互独立，不能推出整个事件组相互独立。

若\((\Omega,F),X:\Omega\to R\)满足

\[{X\le x}:={\omega\in\Omega:X(\omega)\le x}\in F \]

则称\(X\)是\((\Omega,F)\)上的随机变量。（即要求\({X\le x}\)是事件）

这都是很简陋的记录……只是为了完整性而写罢了。