“稳定”凸包----poj1228

   题目链接: http://poj.org/problem?id=1228

   这道题算是很好的一道凸包的题吧，做完后会加深对凸包的理解。

   题意很关键。。。这英语看了好几遍才差不多看明白了。意思就是给你一堆点，这堆点本来就是某个凸包上的部分点，问你这堆点是否能确定唯一的凸包（大概这意思吧。。。）。后来搜了一下，发现这种凸包叫做稳定凸包。

   首先来了解什么是稳定的凸包。比如有4个点：

这四个点是某个凸包上的部分点，他们连起来后确实还是一个凸包。但是原始的凸包可能不是这样。比如：

即这四个点构成的凸包不算做“稳定”的。我们发现，当凸包上存在一条边上的点只有端点两个点的时候，这个凸包不是稳定的，因为它可以在这条边外再引入一个点，构成一个新的凸包。但一旦一条边上存在三个点，那么不可能再找到一个点使它扩展成一个新的凸包，否则构成的新多边形将是凹的。

下面是一个典型的稳定凸包：

       那么这道题的做法终于明确了。即求出给定这堆点的新的凸包，然后判断凸包上的每条边上是否至少有3个点存在，假如有一条边不符合条件，则输出NO。否则YES。

     写的时候又遇到几个小问题了。。。一个是要修改一下凸包模板，大多数人的模板都是不包括共线点的。然后，如果输入的点数n小于6，那么直接输出NO。当然，也可以直接按极角排序进行比较。至于判断一条边上是否至少有三个点，我是这样做的，假设要判断的边i，那么判断边i和边i-1，边i和边i+1的夹角是否都为0（180）。

    代码~：

//POJ--1228
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define  eps 1e-8
using namespace std;

struct  point
{
    double x,y;
};
point p[1010],stack[1010];
int N,top;

double multi(point p1, point p2, point p3)  
{
    return (p2.x - p1.x) * (p3.y - p1.y) - (p2.y - p1.y) * (p3.x - p1.x);
}

double dis(point a, point b)
{
    return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}

int cmp(const void *a, const void *b)
{
    point c = *(point *)a;
    point d = *(point *)b;
    double k = multi(p[0], c, d);
    if(k < 0 || (!k && dis(c, p[0]) > dis(d, p[0])))    return 1;
    return -1;
}

void Convex()
{
    for(int i = 1; i < N; i++)
    {
        point temp;
        if(p[i].y < p[0].y || ( p[i].y == p[0].y && p[i].x < p[0].x))
        {
            temp = p[i];
            p[i] = p[0];
            p[0] = temp;
        }
    }
    qsort(p + 1, N - 1, sizeof(p[0]), cmp);
    stack[0] = p[0];
    stack[1] = p[1];
    top = 1;
    for(int i = 2; i < N; i++)     
    {
        while(top >= 1 && multi(stack[top - 1], stack[top], p[i]) < 0)     top--;         //共线的点也压入凸包内;
        top++;
        stack[top] = p[i];
    }
}

bool judge()
{
    for(int  i=1;i<top;i++)
    {
        if((multi(stack[i-1],stack[i+1],stack[i]))!=0&&(multi(stack[i],stack[i+2],stack[i+1]))!=0)          //判断每条边是否有至少三个点;
            return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>N;
        for(int i=0;i<N;i++)
        scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
        if(N<6)   puts("NO");
        else 
        {
                Convex();
                if(judge())  puts("YES");
                else puts("NO");
        }
    }
    return 0;
}