洛谷P5304 [GXOI/GZOI2019] 旅行者（二进制分类技巧）

假设我们把特殊点分成 A,B 两个集合，新建 s 连 A 集合的所有点，边权 0 ，新建 t 连接 B 集合里的所有点，边权 0 ，那么 s 到 t 的最短路就是 A,B 集合点之间的最短路的最小值。

那么对于 k 个特殊点，我们枚举二进制里的第 i 位，把二进制第 i 位是 0 的点放在 A ， 1 的点放在 B ，用以上方法跑一个最短路。

然后跑 log n 次最短路之后，所有最短路的最小值就是最终答案。

原理是，假设 k 个特殊点里最近的是 x 和 y ，那么 x 和 y 一定有一个二进制位不一样，那么他们肯定在那次分组的时候被放进了不同的集合，从而肯定被算进了最后的答案之中最短路。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
typedef long long LL;
typedef pair<LL,LL> PLL;
const int N=1e5+10,M=5e5+10;
int a[N];
int n,m,k,s,t;
LL dist[N];
vector<vector<PLL>> edges;
vector<vector<PLL>> nw;
LL dijkstra(){
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    auto cmp=[](PLL& x,PLL& y){
        return x.second>y.second;
    };
    priority_queue<PLL,vector<PLL>,decltype(cmp)> heap(cmp);
    heap.push({s,0});
    dist[s]=0;
    while(heap.size()){
        auto tmp=heap.top();
        int u=tmp.first;
        LL d=tmp.second;
        heap.pop();
        if(d>dist[u])
            continue;
        for(auto &[v,w]:nw[u]){
            if(dist[v]>dist[u]+w){
                dist[v]=dist[u]+w;
                heap.push({v,dist[v]});
            }
        }
    }
    return dist[t];
}
void solve(){
    cin>>n>>m>>k;
    edges=vector<vector<PLL>>(n+5,vector<PLL>(0));
    for(int i=1;i<=m;i++){
        LL x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        edges[x].push_back({y,z});
    }
    for(int i=1;i<=k;i++){
        cin>>a[i];
    }
    s=n+1;t=n+2;
    LL ans=~0ull>>1;
    for(int i=0;(1<<i)<=k;i++){
        nw=edges;
        for(int j=1;j<=k;j++){
            if((j>>i)&1)
                nw[s].push_back({a[j],0});
            else
                nw[a[j]].push_back({t,0});
        }
        ans=min(ans,dijkstra());
        nw=edges;
        for(int j=1;j<=k;j++){
            if((j>>i)&1)
                nw[a[j]].push_back({t,0});
            else
                nw[s].push_back({a[j],0});
        }
        ans=min(ans,dijkstra());
    }
    cout<<ans<<endl;
}
int main(){
    cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0;
}