QOJ14426

神秘科技题：

首先可以发现将操作一和操作二结合一下，我们可以得到一个单点加减 \(3\) 的操作。

观察我们对 \(3\) 取模后的矩阵操作，相当于我们需要保证每行以及每列的数和都是 \(3\) 的倍数。

可以从必要性和充分性分别说明。

这个东西是不好计数的。

观察到 \(mod=10^9+9\)，好像可以很好的求出模意义下的三次单位根，可以考虑单位根反演。

单位根反演大概是：

\([x^0]f (\bmod x^k-1)= \frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}f(w_{k}^i)\)

我是真的不是很会。

这个题可以大概写成：

答案为这些所有元是 \(3\) 的倍数的系数和。

\(\prod_{i}^{h}\prod_{j}^{w}\sum_{v=0}^k c_{i}^v r_{j}^v\)

反演转化一下：

\(\frac{1}{3^{w+h}}\prod_{i}^{h}\prod_{j}^{w}\sum_{v=0}^k w^{(a_i+b_j)v}\)

记 \(f(a,b)=\sum_{v=0}^k w^{(a+b)v}\)

考虑枚举有多少个 \(a_i=0\) 和 \(a_i=1\) 以及 \(a_i=2\)。

\(=\frac{1}{3^{w+h}}\prod_{j}^{w} f(0,b_j)^{d0} f(1,b_j)^{d1} f(2,b_j)^{d2}\)

这个东西只和 \(j\) 相关可以直接求值。