P4180 [BJWC2010]严格次小生成树

P4180 [BJWC2010]严格次小生成树

大致题意

给一张带权无向图,求其严格次小生成树大小

分析

定义

• 次小生成树

无向图中,边权和最小的满足边权和 大于等于 最小生成树边权和的生成树

严格次小生成树即为边权和最小的满足边权和 严格大于 最小生成树边权和的生成树

求法

• 先求出无向图的最小生成树,设其权值和为\(S\)

• 枚举每条不在最小生成树中的边\(e = (u,v,w)\),将其加入生成树,同时去掉从\(u\)到\(v\)的路径上权值最大的一条边\(e_{max}\),以确保不存在环且其权值和次小

得到的新生成树权值和即为\(S+e.w - e_{max}.w\)

代码实现

使用树链剖分来维护两个值\(:\)区间最大值和区间严格次大值

设\(max1_{l,r}\)表示区间\([l,r]\)中的最大值,\(max2_{l,r}\)表示区间\([l,r]\)中的严格次大值

当\(max1_{l,mid}==max1_{mid+1,r}\)时:

\(max2_{l,r}\)取左右区间中的较大的严格次大值

• \(max2_{l,r} = max(max2_{l,mid},max2_{mid+1,r})\)

反之,当\(max1_{l,mid} != max1_{mid+1,r}\)时:

\(max2_{l,r}\)取左右区间中的较小的最大值

• \(max2_{l,r} = min(max1_{l,mid},max1_{mid+1,r})\)

若最大值不等于当前所换的边的大小,直接用最大值来替换

反之,说明不满足严格小于,用次大值来替换

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//--------------------------------------------------------------------------------other 
#define lson (node<<1)
#define rson (node<<1|1)
const int MAXN = 2e5+5,MAXM = 3e5+10;
#define int long long
int head[MAXN<<1];
struct e{
	int next,v,w;
}edge[MAXN<<1];
int cnt = 0;
int n,m,fa[MAXN];
int sum = 0;
bool vis[MAXM];
void add(int u,int v,int w){
	edge[++cnt].v = v;
	edge[cnt].w = w;
	edge[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt;
}
int find(int x){
	if(fa[x]==x) return x;
	else return fa[x] = find(fa[x]);
}

struct id{
	int u,v,w;
	bool operator < (const id &k)const{
		return w<k.w;
	}
}a[MAXN<<2];
void kruskal(){
	int Tot = 0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int f1 = find(a[i].u);
		int f2 = find(a[i].v);
		if(f1!=f2){
			vis[i] = 1;
			fa[f1] = f2;
			add(a[i].u,a[i].v,a[i].w),add(a[i].v,a[i].u,a[i].w);
			sum+=a[i].w;
			Tot++;
		}
		if(Tot == n-1) break;
	}
}
//--------------------------------------------------------------------------------other 
int dep[MAXN],son[MAXN],faa[MAXN],size[MAXN],w[MAXN];
int id[MAXN],val[MAXN],tot = 0,top[MAXN];//预处理数组 

//--------------------------------------------------------------------------------线段树 
struct st{
	int max1,max2,l,r;
}tree[MAXN<<2];
void pushup(int node){
	tree[node].max1 = max(tree[lson].max1,tree[rson].max1);
	if(tree[lson].max1==tree[rson].max1){
		tree[node].max2 = max(tree[lson].max2,tree[rson].max2);
	}
	else tree[node].max2 = min(tree[lson].max1,tree[rson].max1);
}
void build(int node,int l,int r){
	tree[node].l = l,tree[node].r = r;
	if(l==r){
		tree[node].max1 = val[l];
		return;
	}
	int mid = (l+r)>>1;
	build(lson,l,mid);
	build(rson,mid+1,r);
	pushup(node);
}

pair<int,int> unit(pair<int,int> l,pair<int,int> r){
	pair<int,int> f;
	f.first = max(l.first,r.first);
	if(l.first==r.first) f.second = max(l.second,r.second);
	else f.second = min(l.first,r.first);
	return f;
}

pair<int,int> query(int node,int l,int r){
	if(l<=tree[node].l&&r>=tree[node].r){
		return make_pair(tree[node].max1,tree[node].max2);
	}
	int mid = (tree[node].l+tree[node].r)>>1;
	if(r<=mid) return query(lson,l,r);
	if(l>mid) return query(rson,l,r);
	return unit(query(lson,l,r),query(rson,l,r));
}

//--------------------------------------------------------------------------------线段树 


//--------------------------------------------------------------------------------dfs
void dfs1(int u,int f,int deep){
	dep[u] = deep;
	faa[u] = f;
	size[u] = 1;
	int maxson = -1;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
		int v = edge[i].v;
		if(v==f) continue;
		w[v] = edge[i].w;
		dfs1(v,u,deep+1);
		size[u]+=size[v];
		if(size[v]>maxson){
			son[u] = v;
			maxson = size[v];
		}
	}
}
void dfs2(int u,int topf){
	id[u] = ++tot;
	val[tot] = w[u];
	top[u] = topf;
	if(!son[u]) return;
	dfs2(son[u],topf);
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
		int v = edge[i].v;
		if(v==son[u]||v==faa[u]) continue;
		dfs2(v,v);
	} 
}
//--------------------------------------------------------------------------------dfs



//--------------------------------------------------------------------------------查询 
pair<int,int> qb(int u,int v){
	pair<int,int> res;
	while(top[u]!=top[v]){
		if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
		res = unit(res , query(1,id[top[u]],id[u]));
		u = faa[top[u]];
	}
	if(u!=v){
	if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
	res = unit(res , query(1,id[u]+1,id[v]));	
	}
	return res;
}
//--------------------------------------------------------------------------------查询 
signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
	cin>>a[i].u>>a[i].v>>a[i].w;
	if(a[i].u==a[i].v) vis[i] = 1;	
	} 
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i] = i;
	sort(a+1,a+1+m);
	kruskal();
	dfs1(1,0,1);
	dfs2(1,1);
	build(1,1,n);
	int ans = 1e18;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(vis[i]) continue;//在树中或为自环 
		pair<int,int> maxn = qb(a[i].u,a[i].v);//最大值,次大值 
		if(maxn.first<a[i].w) ans = min(ans , sum+a[i].w-maxn.first);
		else if(maxn.second<a[i].w&&maxn.second) ans = min(ans , sum+a[i].w-maxn.second); //存在严格次大值
	}
	cout<<ans;
}

参考资料:

次小生成树_OI Wiki