UVA 11354 Bond 邦德 （RMQ，最小瓶颈MST）
题意：
n个城市，m条路，每条路有个危险值，要使得从s走到t的危险值最小。回答q个询问，每个询问有s和t，要求输出从s到t最小的危险值。（5万个点，10万条边）
思路：
其实要求的是任意点对之间的最小瓶颈路的权值。
先对图求一次MST，那么所有的瓶颈路都在上面。但是q<=5万，即使预先求出所有点对，也需要O(n*n)，太大了。如果对于每个询问才来找答案，这又更慢了。所以得优化。
优化方案（1）：先求出生成树，对于每次询问的两个点，求一次LCA，两个点到LCA所经过的边其中一条边就是答案。很不幸，如果树很稀疏，树枝又很长，那么每次求LCA相当于O(n)的复杂度。
优化方案（2）：鉴于方案（1），要解决的是树枝很长的情况，由于要求的是区间最值，那么类似于RMQ问题了，只是在树上而不是序列中而已。假如将某个点p到其LCA之间的一条链作为一个区间的话，那么这段区间的最值，就是p到(p+LCA)/2与(p+LCA)/2到LCA两个区间的最值再取最值。这又变成了类似于ST算法了。
具体做法可以这样：
（1）预处理每个节点p到p+1,p+2...直到树根的这段区间的最值，那么得到m[p,p+1]，m[p,p+2]，m[p,p+4]...。大小是以2的幂为单位的。若某个点到树根的距离并不是刚好为2的整数次幂，那么这段放弃掉，因为总有点到树根的距离是恰好满足的，那么必要时，找这个区间即可。
（2）在查询时，两节点分别到他们的LCA所经过的边不断更新答案。
倍增算法：此代码用于优化求LCA的速度，以及从p到LCA这段区间的最值。保证在任何树的情况下都是O(logn)。
1 void preprocess(int n)//预处理2的幂次大小的区间内的最值 2 { 3 for(int i=1; i<=n; i++) //初始化，及先记录到父亲的距离 4 { 5 anc[i][0]=far[i]; 6 maxcost[i][0]=cost[i][far[i]]; 7 for(int j=1; (1<<j)<n; j++) 8 anc[i][j]=-1; 9 } 10 for(int j=1; (1<<j)<n; j++) 11 { 12 for(int i=1; i<=n; i++ ) 13 { 14 int e=anc[i][j-1]; 15 if(e>0) 16 { 17 anc[i][j]=anc[e][j-1]; //将2的j次幂，分成两个2的j-1次来组成。 18 maxcost[i][j]=max(maxcost[i][j-1],maxcost[e][j-1]); 19 } 20 } 21 } 22 } 23 24 25 26 int query(int p,int q) //先找LCA，再求答案 27 { 28 int tmp, log, i; 29 if(level[p]<level[q]) swap(p,q);//保持p更深一些 30 31 for(log=1; (1<<log)<=level[p]; log++);//统计最深要几层 32 --log; 33 int ans=-1; 34 for(int i=log; i>=0; i--)//将p提到与q同层 35 { 36 if(level[p]-(1<<i)>=level[q])//这一步关键，只要多于level[q]的部分都会被抹去 37 { 38 ans=max(ans, maxcost[p][i]); 39 p=anc[p][i]; 40 } 41 } 42 43 if(p==q) return ans;//LCA为q 44 45 for(int i=log; i>=0; i--)//同时往LCA方向更新，直到成为LCA的孩子 46 { 47 if(anc[p][i]>0 && anc[p][i]!=anc[q][i] ) 48 { 49 ans=max(ans, maxcost[p][i]); 50 p=anc[p][i]; 51 ans=max(ans, maxcost[q][i]); 52 q=anc[q][i]; 53 } 54 } 55 ans=max(ans, cost[p][far[p]]);//还有一层，别忘了 56 ans=max(ans, cost[q][far[q]]); 57 58 return ans; 59 }
1 #include <bits/stdc++.h> 2 #define INF 0x7f7f7f7f 3 #define pii pair<int,int> 4 #define LL long long 5 using namespace std; 6 const int N=100010; 7 int a[N], b[N], w[N], seq[N]; //求MST用的 8 int pre[N], level[N], far[N], maxcost[N][100], anc[N][100]; 9 int vis[N]; 10 vector<int> vect[N]; //建树时用 11 map<int,int> cost[N]; 12 13 int cmp(int a,int b){return w[a]<w[b];} 14 int find(int x){return pre[x]==x? x: pre[x]=find(pre[x]);} //并查集 15 16 17 18 void DFS(int x,int flo) 19 { 20 vis[x]=1; 21 level[x]=flo; //记录在哪一层 22 for(int i=0; i<vect[x].size(); i++) 23 { 24 int t=vect[x][i]; 25 if(!vis[t]) 26 { 27 far[t]=x; //用孩子索引父亲 28 DFS(t, flo+1); 29 } 30 } 31 } 32 33 void preprocess(int n) 34 { 35 for(int i=1; i<=n; i++) //对于每个点 36 { 37 anc[i][0]=far[i]; 38 maxcost[i][0]=cost[i][far[i]]; //与父亲的距离。 39 for(int j=1; (1<<j)<n; j++) //初始化祖先为-1 40 anc[i][j]=-1; 41 } 42 for(int j=1; (1<<j)<n; j++) //仅需到n-1即可。 43 { 44 for(int i=1; i<=n; i++ ) 45 { 46 int e=anc[i][j-1]; 47 if(e>0) 48 { 49 anc[i][j]=anc[e][j-1]; //将2的j次幂，分成两个2的j-1次来组成。 50 maxcost[i][j]=max(maxcost[i][j-1],maxcost[e][j-1]); 51 } 52 } 53 } 54 } 55 56 57 int cal(int n,int m) 58 { 59 memset(maxcost, 0, sizeof(maxcost)); 60 memset(far, 0, sizeof(far)); 61 memset(level, 0, sizeof(level)); 62 memset(anc, 0x8f, sizeof(anc)); 63 //kruscal 64 for(int i=0; i<=n; i++) 65 { 66 pre[i]=i; 67 cost[i].clear(); 68 vect[i].clear(); 69 } 70 for(int i=0; i<m; i++) 71 { 72 int u=find( a[seq[i]] ); 73 int v=find( b[seq[i]] ); 74 if(u!=v) 75 { 76 pre[u]=v; 77 vect[a[seq[i]]].push_back(b[seq[i]]); 78 vect[b[seq[i]]].push_back(a[seq[i]]); 79 cost[a[seq[i]]][b[seq[i]]]=w[seq[i]]; //因为目前还不知道谁是父亲 80 cost[b[seq[i]]][a[seq[i]]]=w[seq[i]]; 81 } 82 } 83 //dfs 84 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 85 DFS(1, 0); 86 preprocess(n); 87 return 0; 88 } 89 90 91 92 int query(int p,int q) //先找LCA，再求答案 93 { 94 int tmp, log, i; 95 if(level[p]<level[q]) swap(p,q); 96 97 for(log=1; (1<<log)<=level[p]; log++); 98 --log; 99 int ans=-1; 100 for(int i=log; i>=0; i--) 101 { 102 if(level[p]-(1<<i)>=level[q]) 103 { 104 ans=max(ans, maxcost[p][i]); 105 p=anc[p][i]; 106 } 107 } 108 109 if(p==q) return ans; 110 111 for(int i=log; i>=0; i--) 112 { 113 if(anc[p][i]>0 && anc[p][i]!=anc[q][i] ) 114 { 115 ans=max(ans, maxcost[p][i]); 116 p=anc[p][i]; 117 ans=max(ans, maxcost[q][i]); 118 q=anc[q][i]; 119 } 120 } 121 ans=max(ans, cost[p][far[p]]); 122 ans=max(ans, cost[q][far[q]]); 123 return ans; 124 } 125 126 int main() 127 { 128 freopen("input.txt", "r", stdin); 129 int n, m, q, x, y, k=0; 130 131 while(~scanf("%d%d",&n,&m)) 132 { 133 if(k!=0) printf("\n");//格式 134 k++; 135 for(int i=0; i<m; i++) 136 { 137 seq[i]=i; //边号 138 scanf("%d%d%d", &a[i], &b[i], &w[i]); 139 } 140 sort(seq, seq+m, cmp); 141 cal(n, m); 142 scanf("%d",&q); 143 for(int i=0; i<q; i++) 144 { 145 scanf("%d%d",&x,&y); 146 printf("%d\n", query(x,y)); 147 } 148 } 149 return 0; 150 }
