2023年7月解题报告

test617

b

使用 kmp自动机，再动态规划即可

乘积筛

暴力枚举时间复杂度 \(O(\frac{n}{\max\{p,q\}})\)

记忆化 \(\max\{p,q\} <= \sqrt n\) 的部分

时间复杂度 \(O(n \sqrt n)\)

国战

对每个点到根节点的 \(p_i\) 维护一颗值域线段树

对于一个点 \(son\)，它依托于 \(fa\) 建一棵树

具体使用 可持久化线段树

对于每个询问只需知道 \(u,v,lca(u,v)\) 到根节点的线段树

使用 二分 查询

时间复杂度 \(O(n log n ^ 2)\)

test703

最小基因序列

简单贪心，考虑后缀字典序最大，使用 vector ，遍历一次刷掉一些，注意如果位数不够后要从后面继续遍历，玄学时间复杂度

等差数列

明显是个环，分类讨论，另外一种情况是要看补集。

然后先找到公差 \(d\)，再算首项，就可以了。

策略游戏

发现差不会变，我们记表示\(（a,d）\)表示手上的两个数字为 $ (a, a + d)$。

二元组的第二个元素状态数只有的因数级别。

状态不会超过1344个，直接转移即可。

简单记忆化搜索。

test 707

异或平方和

需要拆开处理，对于 \(a_i\oplus a_j\) 可以变成 \(\sum_{k = 1}^{Len}(a_{i,k}\oplus a_{j,k})\)

那如何变成平方呢？

想下竖式乘法的过程，需要对每一位分别乘上下一个数的每一位，换言之，当 \(a_{i,k}\) 和 \(a_{j,l}\) 均为 1 时，那么它的贡献为 \(2^{k+l-2}\)。

现在有四个变量 \(i,j,k,l\) 分别表示竖式乘法正在算 \(i\) 的第 \(k\) 位 \(\times\) \(j\) 的第 \(l\) 位，数量级分别为 \(O(n)\) \(O(n)\) \(O(logn)\) \(O(logn)\) , 看似跑起来比暴力还慢，但是实际上我们只需要枚举 \(i,k,l\) 即可

\(j\) 可以通过预处理求出，考虑一下会对答案做出贡献的 \(j\) 的实际意义：\(a_{i,k} \oplus a_{j,k} = 1\) 且 \(a_{i,l} \oplus a_{j,l} = 1\)

只需要记 \(f_{i,j,k,l}\) 表示满足第 \(i\) 位为 \(k\)，第 \(j\)为 \(l\) 的个数即可

时间复杂度 \(O(n logn^2)\)

除雪

将一个点拆成 \(a_i\) 个点，然后进行匹配

记 \(f_i\) 表示的该子树内最大的匹配数，\(g_i\) 表示取到时能够向上匹配的最小数量

贪心即可，没什么好说的。

天堂之战

结论题，得出结论后使用倍增维护

记录 \(nxt[i][j]\) 表示 i往后跳j 个的点

\(nxt[i][j]\) 表示 i往后跳j 个这条路径的和

test710

城市天际线

先使用并查集，维护所有联通块，先对每个联通块都分别连一个环，有多的边就对每一个联通块内部进行连边，若还有多的边，就对每个联通块两两进行连边，注意不能创造一个大环。

景点距离

记 \(cnt[i]\) 表示路径长度为 \(i\) 的路径的个数。

\(f[i][j]\) 表示 以 \(i\) 为根节点的子树的所有点到 \(i\) 的路径长度恰为 \(j\) 的路径个数

很明显使用 \(f[i][j]\) 来维护 \(cnt[i]\)

删边操作不好计算，不如离线改成加边操作。

排列

易得 \(f_i = f_{i-1}+f_{i-3}+1\)，使用矩阵快速幂即可。

test712

生命游戏

求时间最大，很明显二分时间

对于时间 \(t\)， 如何求出初始点呢？

若一个点到离它最近的一个"."的距离 > t ,那么称这个点为初始点

求出初始点可以用 BFS 实现

最后对所以得初始点模拟 \(t\) 秒，即可，也使用 BFS

Bajka

定义状态 \(f[i][j]\) 表示 \(s\) 匹配到第 \(i\) 个， \(t\) 匹配到第 \(j\) 个

对于一个 \(t[i]\) ，找到所有的 \(s[j] = s[i]\)，从左到右，从右到左分别扫一遍即可

memset(b, 0, sizeof(b));
for(int j = 1; j <= n; j++) {
    int x = s[j] - 'a' + 1;
    if(b[x]) f[j][i] = min(f[j][i], f[b[x]][i] + abs(b[x] - j));
    b[x] = j;
}
memset(b, 0, sizeof(b));
for(int j = n; j >= 1; j--) {
    int x = s[j] - 'a' + 1;
    if(b[x]) f[j][i] = min(f[j][i], f[b[x]][i] + abs(b[x] - j));
    b[x] = j;
}

序列修改

假如要修改 \(a[i]\) 为 \(x\) ，考虑它带来的影响

对于下一个与 \(a[i]\) 相同的 \(a[j]\)，它会对 \([i, j - 1]\) 这个区间的 \(c[i]\) 减一，带来 $ - (i + j) \times (j - i + 1) / 2$ 的影响

为保证 \(a[i] - x\) 的绝对值最小，用一个 set 即可

test714

valk

建两棵字典树后，进行 DFS

记 \(dfs(x,y,f)\) 表示第一棵字典树在 \(x\) ，表示第二棵字典树在 \(y\) , 轮到谁出手，当前局面谁赢

selotejp

轮廓线 DP

papricice

50pts

使用 DFS 序，枚举两个点并判断是否为祖孙关系，分类讨论

100pts

只枚举一个点，另一个点最优使用 set 维护，判断是否为祖先关系可以使用一个栈