三维空间中绕相机原点的旋转在二维坐标变换中与物体距离无关

结论

可以证明：

对于任意的三维空间中的相机绕自身的旋转，相机成像的二维图像中对应像素的位置变换矩阵与物体距离相机的距离无关。

论证

只需要分别证明，对于绕过相机自身原点的X轴、Y轴、Z轴的三维旋转Rx,Ry,Rz均满足目标命题所述性质，则目标命题在任意三维旋转矩阵变换上均成立。

对于\(R_x\)

\[R_x=\left[\begin{aligned}1 && 0 && 0\\0 && \cos\alpha && \sin\alpha\\0 && -\sin\alpha && \cos\alpha\end{aligned}\right] \]

假设相机旋转变换前后的同一物体的三维坐标分别为\((x,y,z)\)和\((x',y',z')\).
对应的二维坐标根据投影公式分别为:

\[(u,v)=(\frac{x}{z},\frac{y}{z}) \]

\[(u',v')=(\frac{x'}{z'},\frac{y'}{z'}) \]

由旋转变换的定义可知：

\[\left[\begin{aligned}x'\\y'\\z'\end{aligned}\right]=R_x\left[\begin{aligned}x\\y\\z\end{aligned}\right] \]

因此：

\[u'=\frac{x'}{z'}=\frac{x}{-y\sin\alpha+z\cos\alpha}=\frac{\frac{x}{z}}{-\frac{y}{z}\sin\alpha + \frac{z}{z}\cos\alpha}=\frac{u}{-v\sin\alpha+\cos\alpha} \]

同理：

\[v'=\frac{y'}{z'}=\frac{y\cos\alpha+z\sin\alpha}{-y\sin\alpha+z\cos\alpha}=\frac{\frac{y}{z}\cos\alpha+\frac{z}{z}\sin\alpha}{-\frac{y}{z}\sin\alpha + \frac{z}{z}\cos\alpha}=\frac{v\cos\alpha+\sin\alpha}{-v\sin\alpha+\cos\alpha} \]

从上述结论可知，三维空间中的绕X轴旋转的变换，投影到二维平面上，表现出来的变换仅与旋转角度有关，而与实际物体到投影平面（相机成像面）的垂直距离z无关，即——

不需要三维空间信息，仅依靠原始的二维像素信息和旋转角度，就可以正确预测绕X轴旋转后的二维成像结果。

类似地，我们对三维空间中相机绕自身的Y轴旋转的情形进行推演，发现其结论是一致的：

对于\(R_y\)

\[R_y=\left[\begin{aligned}\cos\beta && 0 && -\sin\beta\\ 0 && 1 && 0\\ \sin\beta && 0 && \cos\beta\end{aligned}\right] \]

\[u'=\frac{u\cos\beta-\sin\beta}{u\sin\beta+\cos\beta} \]

\[v'=\frac{v}{u\sin\beta+\cos\beta} \]

对于\(R_z\)

\(R_z\)不需要进行推导即可知道与距离z无关，因为\(R_z\)意味着绕相机的光轴进行旋转，光轴方向垂直于成像面，此时三维旋转退化为二维旋转矩阵，故任意的\(R_z\)都与\(z\)无关，严谨一点，从公式可知：

\[R_z=\left[\begin{aligned}\cos\theta && \sin\theta && 0\\ -\sin\theta && \cos\theta && 0\\ 0 && 0 && 1\end{aligned}\right] \]

\[u'=u\cos\theta + v\sin\theta \]

\[v'=-u\sin\theta + v\cos\theta \]

从公式也可证明这一点。
又由于任何相机的旋转变换都可以分解为\(R_x\)、\(R_y\)及\(R_z\)的基础变换的组合（*这一点证明也很简单：相机的任意绕自身旋转后的姿态可以由一个相机成像面的法向量也即光轴方向\(\vec{n}\)以及相机成像面的绕光轴旋转的相位角\(\theta\)描述，
对于任意的光轴方向\(\vec{n}\)，我们都可以先对原相机绕自身X轴旋转使得目标光轴方向\(\vec{n}\)和相机三维空间中的xoz平面共面，由于\(\vec{n}\)与垂直于y轴的xoz平面共面，因此再绕y轴旋转一定可使得\(\vec{n}\)和z轴重合，最后绕z轴旋转一定角度可满足相位角为\(\theta\)），因此——

对于任意的相机绕自身的旋转变换，对应的二维图像的变换都可以在三维信息缺失的条件下唯一的确定。

事实上，显而易见的，任何3x3的三维变换矩阵都满足这一性质。对于一般的3x4的矩阵，比如如下形式的平移矩阵就不满足这一性质。

\[T=\left[\begin{aligned}1&&0&&0&&dx\\0&&1&&0&&dy\\0&&0&&1&&dz\end{aligned}\right] \]

\[T\vec{x}=\left[\begin{aligned}1&&0&&0&&dx\\0&&1&&0&&dy\\0&&0&&1&&dz\end{aligned}\right] \left[\begin{aligned}x\\y\\z\\1\end{aligned}\right]=\left[\begin{aligned}x+dx\\y+dy\\z+dz\end{aligned}\right] \]

故，

\[(u',v')=(\frac{x+dx}{z+dz}, \frac{y+dy}{z+dz})=(\frac{uz+dx}{z+dz},\frac{vz+dy}{z+dz}) \]

无论如何都无法从上述公式中消除变量\(z\)，因此，平移变换是不满足命题要求的性质的。