直线的扫描转换

直接计算法

假定直线的起点、终点分别为：（x1,y1), (x2,y2)，且都为整数。
计算出斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) ,
在Y轴的截距b=y1-k*x1　

这样一来，只要给定 x的值，根据解析式立即可以计算出对应的y值，然后输出(x,round(y))。这种方法直观，但效率太低，因为每一步需要一次浮点乘法、一次浮点加法和一次舍入运算。

数值微分法（ＤＤＡ）

假定直线的起点、终点分别为：（x1,y1), (x2,y2)，且都为整数。　

已知过端点P0 (x1, y1), P1(x2, y2)的直线段L：y=kx+b
直线斜率为：k=(y2-y1)/(x2-x1)
考虑当x从xi → → xi+1时y的变化规律：
设：
Δx=xi+1−xi Δ x = x i + 1 − x i
xi+1=xi+Δx x i + 1 = x i + Δ x

计算：
yi+1=kxi+1+b=k(xi+Δx)+b=kxi+b+kΔx=yi+kΔx y i + 1 = k x i + 1 + b = k ( x i + Δ x ) + b = k x i + b + k Δ x = y i + k Δ x
当 Δx=1;yi+1=yi+k Δ x = 1 ; y i + 1 = y i + k
即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)；
注意上述分析的算法仅适用于|k|≤1的情形。在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。
当 |k|>1时，必须把x，y地位互换。

DDA算法就是一个增量算法。

void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) {    
  int x；                       
    float dx, dy, y, k;                     
    dx= x1-x0, dy=y1-y0;                   
    k=dy/dx, y=y0;                     
    for (x=x0; x<=x1; x++){     
      drawpixel (x, int(y+0.5), color); 
        y=y+k;
     }
}



中点Bresenham算法

原理：每次在主位移方向上走一步，另一个方向上走不走步取决于中点误差项的值。给定理想直线的起点坐标为P0(x0,y0)，终点坐标为P1(x1,y1),则直线的隐函数方程为：
F(x,y)=y−kx−b=0 F ( x , y ) = y − k x − b = 0
其中，直线的斜率： k=ΔyΔx=y1−y0x1−x0 k = Δ y Δ x = y 1 − y 0 x 1 − x 0
直线水平方向位移： Δx=x1−x0 Δ x = x 1 − x 0
直线垂直方向位移： Δy=y1−y0 Δ y = y 1 − y 0

理想直线将平面划分成三个区域：对于直线上的点，F(x，y)＝0；对于直线上方的点，F（x，y）＞0；对于直线下方的点，F（x，y）＜0。
假设直线的斜率为0≤k≤1，则Δx≥Δy，所以确定x方向为主位移方向。按照Bresenham原理，x方向上每次加1，y方向上加不加1取决于中点误差项的值。

假定直线的当前点是P，沿主位移x方向走一步，下一点只能在Pu和Pd两点中选取，Pu和Pd的中点为M。显然，若中点M在理想直线的下方，则Pu点距离直线近，否则选取Pd。（u代表up，上面的像素；d代表down，下面的像素）

构造中点误差项：

从Pi(xi,yi)点出发选取下一像素时，需将Pu和Pd的中点M(xi＋1,yi＋0.5)代入隐函数方程，构造中点误差项di。 从 P i ( x i , y i ) 点 出 发 选 取 下 一 像 素 时 ， 需 将 P u 和 P d 的 中 点 M ( x i ＋ 1 , y i ＋ 0.5 ) 代 入 隐 函 数 方 程 ， 构 造 中 点 误 差 项 d i 。
di=F(xi+1,yi+0.5)=yi+0.5−k(xi+1)−b d i = F ( x i + 1 , y i + 0.5 ) = y i + 0.5 − k ( x i + 1 ) − b

yi+1={yi+1,yi,di<0di≥0 y i + 1 = { y i + 1 , d i < 0 y i , d i ≥ 0

中点误差项的递推公式

1. 当di<0时，下一步的中点坐标为M(xi+2，yi+1.5)，下一步中点误差项为 当 d i < 0 时 ， 下 一 步 的 中 点 坐 标 为 M ( x i + 2 ， y i + 1.5 ) ， 下 一 步 中 点 误 差 项 为
   di+1=F(xi+2,yi+1.5)=yi+1.5−k(xi+2)−b d i + 1 = F ( x i + 2 , y i + 1.5 ) = y i + 1.5 − k ( x i + 2 ) − b
   =yi+0.5−k(xi+1)−b+1−k = y i + 0.5 − k ( x i + 1 ) − b + 1 − k
   =di+1−k = d i + 1 − k
2. 当di≥0，时下一步的中点坐标为M(xi+2，yi+0.5)，下一步中点误差项为 当 d i ≥ 0 ， 时 下 一 步 的 中 点 坐 标 为 M ( x i + 2 ， y i + 0.5 ) ， 下 一 步 中 点 误 差 项 为
   di+1=F(xi+2,yi+0.5)=yi+0.5−k(xi+2)−b d i + 1 = F ( x i + 2 , y i + 0.5 ) = y i + 0.5 − k ( x i + 2 ) − b
   =yi+0.5−k(xi+1)−b−k = y i + 0.5 − k ( x i + 1 ) − b − k
   =di−k = d i − k

中点误差项的初始值

直线的起点坐标为P0(x0,y0)，x为主位移方向。因此，第一个中点是M(x0+1,y0+0.5)，相应的di的初始值为： 直 线 的 起 点 坐 标 为 P 0 ( x 0 , y 0 ) ， x 为 主 位 移 方 向 。 因 此 ， 第 一 个 中 点 是 M ( x 0 + 1 , y 0 + 0.5 ) ， 相 应 的 d i 的 初 始 值 为 ：
d0=F(x0+1,y0+0.5)=y0+0.5−k(x0+1)−b d 0 = F ( x 0 + 1 , y 0 + 0.5 ) = y 0 + 0.5 − k ( x 0 + 1 ) − b
=y0−kx0−b−k+0.5 = y 0 − k x 0 − b − k + 0.5
其中，因为（x0，y0）在直线上，所以y0−kx0−b=0 其 中 ， 因 为 （ x 0 ， y 0 ） 在 直 线 上 ， 所 以 y 0 − k x 0 − b = 0
所以d0=0.5−k 所 以 d 0 = 0.5 − k

由于使用的是di的符号，可以用 2diΔx 2 d i Δ x 代替 di d i 来摆脱小数，使得算法只涉及整数运算。现有的研究已经证明：端点采用整数坐标没有什么益处，因为现在的CPU可以按照与处理整数同样的速度处理浮点数。