时间复杂度和空间复杂度

什么是时间复杂度
了解时间复杂度之前，先了解时间频度

时间频度
一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。

一句话：T(n)就是时间频度，表示算法执行的次数

问题：T(n)随着n的改变而改变

时间复杂度
时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

时间复杂度怎么算
　　基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。

1、计算出每条语句执行次数T(n)
求出代码中每条语句执行的次数

在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。

2、计算出T(n)的数量级
求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：

忽略常量

低次幂和最高次幂的系数

令f(n)=T(n)的数量级。

3、用大O来表示时间复杂度
　　当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。

只保留最高阶项，最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

前面提到的时间频度T(n)中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律，为此我们引入时间复杂度的概念。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))，它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数什么意思？
首先你要知道T(n)是f(n)忽略常量、低次幂和最高次幂的系数。只保留能代表数量级的项。

所以T(n)肯定是小于等于f(n)的

那么，如果T(n)/f(n)的极限值等于0，那么就是说f(n)的增长趋势比T(n)大太多，那么就说明他们俩不是一个数量级的。

不是一个数量级什么意思呢？
就好比你玩LOL，你是黄铜1，他是黄铜3，虽然你比他高一点，但你们俩还是黄铜，是一个数量级的。。。大多数时候，通过段位就能判断你的水平，不会在意是你在你段位是1还是5。这里算法的时间复杂度也是一样，只保留核心项，其他的都去掉。

什么时候不是一个数量级呢？等你上白银或者黄金的时候，那就不是一个数量级的。。。

一个算法的执行时间与哪些因素有关
衡量一个算法的好坏不能简单的从这个算法所花费的时间来衡量。因为这个时间受多种因素影响。一般来说一个算法花费的时间有以下4点

计算机执行的速度->硬件层面
编译产生的代码质量->软件层面
算法的好坏(算法使用的策略)
问题规模
在给定软硬件环境下，其实就是你在自己电脑上写算法的时候，算法执行时间只受算法本身的好坏和要处理的问题的规模影响。这样就将4个影响因素减少为2个，简化了问题。

我们继续分析，

给定问题规模n之后，优秀的算法可能执行几次就搞定了，一般的算法可能执行很多很多次才搞定；

当给定算法时，问题规模n很小时，可能执行几次就搞定，而n很大时，就得执行很多次了。

所以算法优劣和问题规模n改变时，执行次数（基本操作数）将改变，所以执行次数就是算法优劣和问题规模n的函数。

既然执行时间受算法好坏和问题规模n的影响，那么执行时间就是它俩的函数。