机器学习降维算法四:Laplacian Eigenmaps 拉普拉斯特征映射

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继续写一点经典的降维算法,前面介绍了PCA,LDA,LLE,这里讲一讲Laplacian Eigenmaps。

其实不是说每一个算法都比前面的好,而是每一个算法都是从不同角度去看问题,因此解决问题的思路是不一样的。这些降维算法的思想都很简单,却在有些方面很有效。这些方法事实上是后面一些新的算法的思路来源。

 

Laplacian Eigenmaps[1] 看问题的角度和LLE有些相似,也是用graph的角度去构建数据之间的关系。

它的直观思想是希望相互间有关系的点(在图中相连的点)在降维后的空间中尽可能的靠近。Laplacian Eigenmaps可以反映出数据内在的流形结构。

Laplacian Eigenmaps也通过构建相似关系图(对应的矩阵为clip_image002)来重构数据流形的局部结构特征。Laplacian Eigenmaps算法的主要思想是,如果两个数据实例i和j很相似,那么i和j在降维后目标子空间中应该尽量接近。设数据实例的数目为n,目标子空间的维度为m。定义clip_image006大小的矩阵clip_image008,其中每一个行向量clip_image010是数据实例i在目标m维子空间中的向量表示,Laplacian Eigenmaps要优化的目标函数如下

clip_image012(2.11)

定义对角矩阵clip_image014,对角线上clip_image016位置元素等于矩阵clip_image002[1]的第i行之和,经过线性代数变换,上述优化问题可以用矩阵向量形式表示如下:

clip_image018(2.12)

其中矩阵clip_image020是图拉普拉斯矩阵。限制条件clip_image022保证优化问题有解,并且保证映射后的数据点不会被“压缩”到一个小于m维的子空间中。使得公式最小化的Y的列向量是以下广义特征值问题的m个最小非0特征值(包括重根)对应的特征向量:

clip_image024(2.13)

 

 

使用时算法具体步骤为:

步骤1:构建图

使用某一种方法来将所有的点构建成一个图,例如使用KNN算法,将每个点最近的K个点连上边。K是一个预先设定的值。

步骤2:确定权重

确定点与点之间的权重大小,例如选用热核函数来确定,如果点i和点j相连,那么它们关系的权重设定为:

clip_image026(2.14)

另外一种可选的简化设定是clip_image028如果点i,j相连,否则clip_image030

步骤3:特征映射

计算拉普拉斯矩阵L的特征向量与特征值:clip_image032

其中D是对角矩阵,满足clip_image034clip_image036

使用最小的m个非零特征值对应的特征向量作为降维后的结果输出。

前面提到过,Laplacian Eigenmap具有区分数据点的特性,可以从下面的例子看出:

clip_image038

图1 Laplacian Eigenmap实验结果

见图1所示,左边的图表示有两类数据点(数据是图片),中间图表示采用Laplacian Eigenmap降维后每个数据点在二维空间中的位置,右边的图表示采用PCA并取前两个主要方向投影后的结果,可以清楚地看到,在此分类问题上,Laplacian Eigenmap的结果明显优于PCA。

 

image

图2 roll数据的降维

图2说明的是,高维数据(图中3D)也有可能是具有低维的内在属性的(图中roll实际上是2D的),但是这个低维不是原来坐标表示,例如如果要保持局部关系,蓝色和下面黄色是完全不相关的,但是如果只用任何2D或者3D的距离来描述都是不准确的。

下面三个图是Laplacian Eigenmap在不同参数下的展开结果(降维到2D),可以看到,似乎是要把整个带子拉平了。于是蓝色和黄色差的比较远。

 

 

Reference

[1] Belkin, M., Niyogi, P. Laplacian eigenmaps and spectral techniques for embedding and clustering. Advances in neural information processing systems. 2002, 1585-592.

posted on 2012-11-29 21:23  Bin的专栏  阅读(19460)  评论(3编辑  收藏  举报

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