数学分析(I) 习题四

1

\(f\) 在 \(0\) 处不可导，g 在 \(0\) 处可导，导数为 \(0\)。

2

由于 \(f'(x_0)\exists\)，\(\lim_{n\to \infty}x_n=x_0\)，由导数定义得，\(\forall \epsilon, \exists N,\forall n>N,|\frac{f(y_n)-f(x_0)}{y_n-x_0}-f'(x_0)|<\epsilon\)，化简得 \((y_n-x_0)(f'(x_0)-\epsilon)<f(y_n)-f(x_0)<(y_n-x_0)(f'(x_0)+\epsilon)\)。同理，有 \((x_0-x_n)(f'(x_0)-\epsilon)<f(x_0)-f(x_n)<(x_0-x_n)(f'(x_0)+\epsilon)\)，两式相加后得 \((y_n-x_n)(f'(x_0)-\epsilon)<f(y_n)-f(x_n)<(y_n-x_n)(f'(x_0)+\epsilon)\)，化简得 \(|\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}-f'(x_0)|<\epsilon\)。

3

\[f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}h=\lim_{h\to 0}\frac {f(h)}h \]

\[|f'(0)|=\lim_{h\to 0}|\frac{f(h)}h|\le\lim_{h\to 0}|\frac{\sin(h)}h|=|\sin'(0)|= 1 \]

4

(1)

\[f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{h\to 0}\frac{f(-x-h)-f(-x)}h=-f'(-x) \]

(2)

\(f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{h\to 0}\frac{-f(-x-h)+f(-x)}{h}=f'(-x)\)

(3)

设有周期 \(T\)，\(f(x)=f(x+T)\)，根据定义易证 \(f'(x)=f'(x+T)\)。