NOI2020 命运

题目描述

给定一棵树 \(T=(V,E)\) 和点对集合 \(\mathcal Q\) ，满足对于所有 \((u,v)\in \mathcal Q\)，都有 \(u\neq v\)，并且 \(u\) 是 \(v\) 在树 \(T\) 上的祖先。

求有多少个不同的函数 \(f:E\to\{0, 1\}\)（将每条边 \(e\in E\) 的 \(f(e)\) 值置为 \(0\) 或 \(1\)），满足对于任何 \((u,v)\in\mathcal Q\)，都存在 \(u\) 到 \(v\) 路径上的一条边 \(e\) 使得 \(f(e)=1\)。

结果对 \(998244353\) 取模。

Solution

考虑 \(\texttt{DP}\)。

设 \(f_{u,d}\) 表示节点为 \(u\)，没满足限制的最大深度为 \(d\) 的方案数。

转移枚举 \((u,v)\in E\)，则

\[f_{u,d}=\sum_{i=0}^{dep_u}{f_{v,i}}f_{u,d}+\sum_{i=0}^{d}{f_{v,i}}f_{u,d}+\sum_{i=0}^{d-1}{f_{u,i}}f_{v,d} \]

设 \(s_{u,d}=\sum_{i=0}^{d}f_{u,i}\)，则

\[f_{u,d}=f_{u,d}(s_{v,dep_u}+s_{v,d})+f_{v,d}s_{u,d-1} \]

线段树合并优化即可。时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。

Code

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=1000010,MLY=998244353;
template<class T>inline T Max(const T &a,const T &b){return a>b?a:b;}
vector<int> mp[maxn];
struct SegmentTree{
	int l,r,lc,rc,sum,mul;
	SegmentTree(){mul=1;}
}tr[maxn*10];
int Fir[maxn],Nxt[maxn],Too[maxn],tot;
int cnt,dep[maxn],root[maxn],n,m;
inline void add(int a,int b){
	Too[++tot]=b;Nxt[tot]=Fir[a];Fir[a]=tot;
}
inline void pushmul(int u,int d){
	tr[u].sum=1ll*tr[u].sum*d%MLY;
	tr[u].mul=1ll*tr[u].mul*d%MLY;
}
inline void pushdown(int u){
	pushmul(tr[u].lc,tr[u].mul);pushmul(tr[u].rc,tr[u].mul);
	tr[u].mul=1;
}
inline void pushup(int u){
	tr[u].sum=(tr[tr[u].lc].sum+tr[tr[u].rc].sum)%MLY;
}
inline int modify(int u,int l,int r,int p){
	u=++cnt;tr[u].sum=1;
	if(l==r)return u;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(p<=mid)tr[u].lc=modify(tr[u].lc,l,mid,p);
	else tr[u].rc=modify(tr[u].rc,mid+1,r,p);
	return u;
}
inline int query(int u,int l,int r,int ql,int qr){
	if(!u||ql<=l&&r<=qr)return tr[u].sum;
	int mid=(l+r)>>1,ans=0;
	pushdown(u);
	if(ql<=mid)ans=query(tr[u].lc,l,mid,ql,qr);
	if(mid<qr)ans=(ans+query(tr[u].rc,mid+1,r,ql,qr))%MLY;
	return ans;
}
inline int merge(int p,int q,int l,int r,int &s1,int &s2){
	if(!p&&!q)return 0;
	if(!p){
		s1=(s1+tr[q].sum)%MLY;
		pushmul(q,s2);
		return q;
	}
	if(!q){
		s2=(s2+tr[p].sum)%MLY;
		pushmul(p,s1);
		return p;
	}
	if(l==r){
		int tp=tr[p].sum,tq=tr[q].sum;
		s1=(s1+tq)%MLY;
		tr[p].sum=(1ll*tr[p].sum*s1+1ll*tr[q].sum*s2)%MLY;
		s2=(s2+tp)%MLY;
		return p;
	}
	pushdown(p);pushdown(q);
	int mid=(l+r)>>1;
	tr[p].lc=merge(tr[p].lc,tr[q].lc,l,mid,s1,s2);
	tr[p].rc=merge(tr[p].rc,tr[q].rc,mid+1,r,s1,s2);
	pushup(p);
	return p;
}
inline void dfs(int u,int f){
	dep[u]=dep[f]+1;
	int mxdep=0;
	for(auto t:mp[u])mxdep=Max(mxdep,dep[t]);
	root[u]=modify(root[u],0,n,mxdep);
	for(int i=Fir[u];i;i=Nxt[i]){
		int v=Too[i];
		if(v!=f){
			dfs(v,u);
			int s1=query(root[v],0,n,0,dep[u]),s2=0;
			root[u]=merge(root[u],root[v],0,n,s1,s2);
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;++i){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);add(y,x);
	}
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		mp[v].push_back(u);
	}
	dfs(1,1);
	printf("%d",query(root[1],0,n,0,0));
	return 0;
}