二项式定理

前置芝士：容斥原理

\[\vert A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\vert=\sum_{i=1}^{n}\vert A_i\vert-\sum_{1\le i<j\le n}\vert A_i\cap A_j\vert+\cdots+(-1)^{n-1}\times\vert A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n\vert \]

证明：若某元素在 \(m\) 个集合中，其对右式贡献为 \(\sum_{i=1}^{m}(-1)^{i-1}\binom{m}{i}=-\sum_{i=1}^{m}(-1)^{i}\binom{m}{i}=1-\sum_{i=0}^{m}(-1)^{i}\binom{m}{i}=1\)。

二项式定理

证明：将容斥原理变形，有

\[\vert \overline {A_1}\cap \overline{A_2}\cap \cdots \cap \overline{A_n}\vert=\vert S\vert-\sum_{i=1}^{n}\vert A_i\vert+\sum_{1\le i<j\le n}\vert A_i\cap A_j\vert+\cdots+(-1)^{n}\times\vert A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n\vert \]

\[\vert A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n\vert=\vert S\vert-\sum_{i=1}^{n}\vert \overline{A_i}\vert+\sum_{1\le i<j\le n}\vert \overline{A_i}\cap \overline{A_j}\vert+\cdots+(-1)^{n}\times\vert \overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap \cdots \cap \overline{A_n}\vert \]

构造出 \(n\) 个集合，使这 \(n\) 个集合的交集大小只与集合数目有关。

设 \(f_n\) 表示 \(n\) 个集合的补集交集大小，\(g_n\) 表示 \(n\) 个原集合大小，则有

\[g_n=\sum_{i=0}^{n}{(-1)^i\binom{n}{i}f_i}\Leftrightarrow f_n=\sum_{i=0}^{n}{(-1)^i\binom{n}{i}g_i} \]

扩展应用

形式 1

\[f_n=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}g_i}\Leftrightarrow g_n=\sum_{i=0}^{n}{(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f_i} \]

设 \(h_n=(-1)^{n}g_n\)，则

\[f_n=\sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}h_i}\Leftrightarrow \frac{h_n}{(-1)^n}=\sum_{i=0}^{n}{(-1)^i\binom{n}{i}f_i} \]

整理后即为原式。