rfl：从 lean 开始的异世界生活（1）——lean 初体验

rfl 是什么

是 lean 中一个常见的 tactic（用于证明定理的策略）．

lean 是什么

AlphaProof 做 IMO2024 的题目取得了相当于 Ag 的成绩．它是怎么做的？谁来检验它的解答正确性？它并不是直接像人类一样直接用自然语言输入输出，而是把题目翻译成 lean 之后再解答．

那么，lean 是什么？

在 lean 官网 的标题上有解释：

Programming Language and Theorem Prover

既能作编程语言又能证明数学定理？还有这种好事？能自动帮我写数学证明吗？

不能，它只能检验你的证明是否正确．类似的工具还有 coq 等．想要自动生成数学题的证明，可能还是要依靠 LLM．lean 本身有一定程度的自动化，但也只能搜索一些人眼看起来比较显然的东西．

相关教程：

• Natural Number Game 是一个互动性的 lean 入门教程，类似于 Learn Git Branching，看似学了很多其实学完就忘．

• 特仑苏陶在 github 上发布了他的《Analysis I》的 lean 版本，位于 teorth/analysis．

  在这个仓库的 README 里有更多的 lean 教程．

为什么用 lean

这里的理由也适用于其他证明助手．

一个显然的好处就是消灭了过多的显然，以及它们可能导致的伪证，例如费马大定理，「我有一个绝妙的证明」，证明是否成立，翻译成 lean 之后一看便知．

LLM 做数学题可能会出现过程乱编答案正确的情况，这时就需要检验过程．人检验是费力的，而自动化检验更方便．

你在证明一个重要的定理，证明写完之后发现一个引理错了，导致之后的证明全部白费．

为什么不用 lean

因为麻烦．平时一眼能看出来的东西（组合意义），真要形式化论证并不简单．

举一个例子（来自《行列式入门》）：设 \(n\) 为大于 \(1\) 的正整数，设数组 \(A = [0, 1, 2, \cdots, n-1]\)，\(c\) 为 \(A\) 的子序列且长为 \(k\)，从 \(A\) 中删除 \(A, c\) 的公共项得到 \(B\)，求证：\(B\) 中的元素 \(x\) 在 \(A\) 中下标（0-index）为

\[f(x) = x - \sum\limits_{i=0}^{k-1} \rho (x, c_i) \]

其中

\[\rho (x, y) = \begin{cases} 0, & x \lt y; \\ 1, & x \ge y. \end{cases} \]

看起来是不是很显然？最后我的证明大小达到了 8.5KiB，还是借助了 LLM 的帮助才得以完成．

使用体验

折磨．要是没有 LLM 的帮助就纯纯坐牢了．但是 LLM 也没那么智能，谁用谁知道．AlphaProof 这种一般人用不起，一般人能用的 ChatGPT 等又不够智能，输出的 lean 代码看起来很像那么回事，但实际复制粘贴一看就会发现全是报错：不是编了个不存在的定理就是用了错误的语法．但另一方面，这也有一部分 lean 自身的问题，由于 lean4 和 mathlib4 一直在发展，有些 LLM 的训练资料可能还停留在 lean3 或者使用旧的 mathlib，报错也在一定程度上情有可原．

好像特仑苏陶这种大神用起来挺流畅的，那可能还是我的问题．

但是如果你放弃严谨证明的目标，那就没那么折磨．使用 sorry 或 admit 可以跳过证明，就像游戏里的作弊码一样，用来跳过一些显然的证明还是很方便的．诶不对，我为什么要使用 lean 来着？

所以可能 lean 的发展还要依赖于 AI 的发展，等哪一天 AI 能把人类的数学证明轻松地翻译成 lean 验证后，lean 就能得到大规模的普及了．

还有一点值得提的是带了 mathlib 后，lean 占用的内存和外存都是 GiB 级别的，像我的渣机有时在用 apply? 时会卡．