wqs 二分 学习笔记

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闲话

我怎么啥都不会啊。/kel

正文

wqs 二分（即 Aliens' trick）是一类优化技巧，用来优化有个数限制的 dp。

例题：IOI2016 Aliens

题意省流：给你 \(n\) 个区间 \(a_i\)，你要选最多 \(m\) 个区间 \(b_i\) 覆盖这 \(n\) 个区间，目标是最小化 \(m\) 个区间的长度平方和减去它们重叠的长度平方和（重叠多次算多次）。

先将 \(a\) 排序并去除包含关系。

第一眼这个 dp 要记录当前覆盖到哪些区间，用了几个区间，所以状态数是 \(\Omega(nm)\) 级别的。而 wqs 提供了一种方法，使得状态数压缩为 \(\Theta(n)\)，代价是要做 \(O(\log V)\) 次 dp，\(V\) 是值域。

先看普通 dp。记 \(dp(i,j)\) 为覆盖前 \(i\) 个区间，用了 \(j\) 个区间的最小代价。固定住 \(i\) 这一维，观察 \(dp_i(j)\) 这个函数随 \(j\) 的变化情况，发现（不会证）它是下凸的。

wqs 二分先忽略了 \(j\) 这一维，改记 \(dp(i)\) 和 \(num(i)\) 为覆盖前 \(i\) 个区间的最小代价和代价最小前提下的最小区间数。之后给物品加一个“代价”，控制选的物品数量。wqs 二分就是二分这个“代价”，使得刚好选了 \(m\) 个区间。

为什么这样是最优的呢？首先（本题中）可以看作是一条直线在切下凸包，wqs 二分这条直线的斜率。既然是凸包，那么在切到点 \((x_0,y_0)\) 的时候它一定也是 \(x=x_0\) 和凸包的交点中 \(y\) 最小的点。

这样大概就做完了。注意本题还要搭配斜率优化。