切比雪夫距离与曼哈顿距离之间的关系

绝对值定义 \(：|a|=max(a,-a)\)

切比雪夫距离\(：dis(A,B)=max(|A_x-B_x|，|A_y-B_y|)\)

曼哈顿距离\(：dis(A,B)=|A_x-B_x|+|A_y-B_y|\)

切比雪夫距离与曼哈顿距离之间的关系

• 有曼哈顿距离 ：\(dis(A,B)=|A_x-B_x|+|A_y-B_y|\)
• 根据绝对值定义 ：\(|a|=max(a,-a)\)
• 得曼哈顿距离
  \(dis(A,B)=|A_x-B_x|+|A_y-B_y|=max(A_x-B_x,B_x-A_x)+max(A_y-B_y,B_y-A_y)\)
  \(=max(A_x-B_x+A_y-B_y，A_x-B_x+B_y-A_y，B_x-A_x+A_y-B_y，B_x-A_x+B_y-A_y)\)
  \(=max((A_x+A_y)-(B_x+B_y)，(A_x-A_y)-(B_x-B_y)，-(A_x-A_y)+(B_x-B_y)，-(A_x+A_y)+(B_x+B_y))\)
  \(=max(|(A_x+A_y)-(B_x+B_y)|，|(A_x-A_y)-(B_x-B_y)|)\)
  这不正好就是切比雪夫距离 \(dis(C,D)\)，其中\(C=(A_x+A_y,A_x-A_y)，D=(B_x+B_y,B_x-B_y)\)

总结

• 曼哈顿距离 \(dis(A,B)=\) 切比雪夫距离 \(dis(C,D)\) ,其中\(C=(A_x+A_y,A_x-A_y)，D=(B_x+B_y,B_x-B_y)\)
• 通过上述证明反过来，得切比雪夫距离\(dis(A,B)=\) 曼哈顿距离 \(dis(C,D)\)，其中\(C=(\frac{A_x+A_y}{2},\frac{A_x-A_y}{2})，D=(\frac{B_x+B_y}{2},\frac{B_x-B_y}{2})\)